最小路径和（动态规划）

题目描述

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明： 每次只能向下或者向右移动一步。

示例 1：

输入： grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出： 7
解释： 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2：

输入： grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出： 12

提示：

• m == grid.length
• n == grid[i].length
• 1 <= m, n <= 200
• 0 <= grid[i][j] <= 200

解题思路

• 第一行的最短路径 = 一直往右走，整条路上的和。
• 第一列的最短路径 = 一直往下走，整条路上的和。
• 所以可以得出状态转移方程：

当i>0且j=0时，F(i,j) = F(i-1)+grid[i][j]

当i=0且j>0时，F(i,j) = F(j-1)+grid[i][j]

当i>0且j>0时，F(i,j) = Math.min(F(i-1, j), F(i, j-1)) + grid[i][j]

java代码

class Solution {
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;

        int[] dp = new int[n];
        dp[0] = grid[0][0];
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + grid[0][i];
        }

        for (int i = 1; i < m; i++) {
            dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - 1]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[n - 1];
    }
}

复杂度

• 时间复杂度：O(mn)
• 空间复杂度：O(n)