题目
给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。
算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。
示例 1：
输入： nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出： 2.00000
解释： 合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2
示例 2：
输入： nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出： 2.50000
解释： 合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5
提示：
nums1.length == mnums2.length == n0 <= m <= 10000 <= n <= 10001 <= m + n <= 2000-106 <= nums1[i], nums2[i] <= 106
思路
解法一: 归并排序合并+直接查找中位值
归并排序合并数组，O(m+n)，在新的数组中，判断数组的奇偶，查找中位值。
代码一:归并排序合并+直接查找
class Solution:
def findMedianSortedArrays(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float:
nums = merge(nums1, nums2)
n = len(nums)
if n % 2 == 1:
return nums[n>>1]
return (nums[n>>1] + nums[(n>>1)-1]) * 0.5
def merge(n1, n2):
i = 0
j = 0
res = []
while i < len(n1) and j < len(n2):
if n1[i] <= n2[j]:
res.append(n1[i])
i += 1
else:
res.append(n2[j])
j += 1
while i < len(n1):
res.append(n1[i])
i += 1
while j < len(n2):
res.append(n2[j])
j += 1
return res
解法二:双指针直接查找中位数
双指针i,j分别从nums1、nums2的头开始，不断比较大小，查找(n+m)>>1和((n+m)>>1)-1的位置。
查询时候，边界应该是 (n+m)>>1，i1 i2 分别从nums1 nums2开始
- 当nums[i1] <= nums2[i2]时，i1++
- 当nums[i1] <= nums2[i2]时，i2++
- 考虑i1和i2可能存在越界的情况
- 只有当i1<len(nums1)并且nums[i1] <= nums2[i2]时，i1++；
- 如果i2>=len(nums2)，此时nums2空了，只能在nums1中取值。
整理一下，条件应该为(i1 < len(nums1) and i2 >= len(nums2)) or (i1 < len(nums1) and nums[i1] <= nums2[i2])，根据逻辑运算的分配性，i1 < len(nums1) and (i2 >= len(nums2) or nums[i1] <= nums2[i2])，注意条件判断是否越界在前，值判断在后，避免出现索引越界情况。
class Solution:
def findMedianSortedArrays(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float:
n = len(nums1)
m = len(nums2)
left = None
right = None
i1 = 0
i2 = 0
l = n + m
# 最多查询中位数次
for i in range((l>>1)+1):
left = right
# i1 < n 且 (i2越界 or i1值较小)
if i1 < n and (i2 >= m or nums1[i1] <= nums2[i2]):
right = nums1[i1]
i1 += 1
else:
right = nums2[i2]
i2 += 1
if l % 2 == 1:
return right
return (left + right) * 0.5
解法三:二分法排除k/2
解法一和解法二的时间复杂度都是O(m+n)，想要时间O(log(m+n))，就需要用到二分法。
题意可以理解为找到第k位小的数。解法二中的一次遍历去掉不可能是中位数的一个，一个一个排除。基于数组序列是有序的，可以实现一半一半排除。
假设我们要找第 k 小数，我们可以每次循环排除掉 k/2 个数。具体步骤如下：
- 对
k/2进行(向下)取整，比较 nums1[k/2] 和 nums2[k/2]的值 - 不妨设 nums1[k/2] < nums2[k/2]，那么说明 nums1[k/2] 肯定不是第k位小的数，一定在nums1[k/2+1,...]和nums2[...]中
- 排除掉nums1[k/2]后，需要寻找的是k-nums1[k/2]位的数，然后nums1区间nums1[k/2+1,...]
- ...直到k==1，此时只需要比较nums1和nums2的所在区间的第一位数字就是所求的答案。
class Solution:
def findMedianSortedArrays(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float:
n = len(nums1)
m = len(nums2)
left = (n+m+1) >> 1
right = (n+m+2) >> 1
return (getKthNum(nums1, 0, n-1, nums2, 0, m-1, left) + getKthNum(nums1, 0, n-1, nums2, 0, m-1, right)) * 0.5
def getKthNum(n1, start1, end1, n2, start2, end2, k):
l1 = end1 - start1 + 1
l2 = end2 - start2 + 1
if l1 > l2:
return getKthNum(n2, start2, end2, n1, start1, end1, k)
if l1 == 0:
return n2[start2 + k -1]
if k == 1:
return min(n1[start1], n2[start2])
i = start1 + min(l1, k>>1) - 1
j = start2 + min(l2, k>>1) - 1
if n1[i] < n2[j]:
return getKthNum(n1, i+1, end1, n2, start2, end2, k - (i-start1+1))
else:
return getKthNum(n1, start1, end1, n2, j+1, end2, k - (j-start2+1))
