题目描述
一个机器人位于一个 m x n **网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
输入： m = 3, n = 7
输出： 28
示例 2：
输入： m = 3, n = 2
输出： 3
解释： 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
- 向右 -> 向下 -> 向下
- 向下 -> 向下 -> 向右
- 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：
输入： m = 7, n = 3
输出： 28
示例 4：
输入： m = 3, n = 3
输出： 6
提示：
1 <= m, n <= 100- 题目数据保证答案小于等于
2 * 109
解题思路
- 用
F(i,j)表示走到i行，j列的路径数 - 可以得出状态转移方程
F(i,j) = F(i-1,j)+F(i,j-1) - 考虑边界条件，
i=0或者j=0时，不满足状态转移方程，都是1
java代码
class Solution {
public int uniquePaths(int m, int n) {
int[][] dp = new int[m][n];
for (int i = 0; i < m; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (i == 0 || j == 0) {
dp[i][j] = 1;
continue;
}
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
}
}
根据上面代码，可以看出i行的结果，依赖i-1和同一行的前一个值，可以利用滚动数组的思想，将二维数组转为一维数组。具体代码如下：
class Solution {
public int uniquePaths(int m, int n) {
int[] dp = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
dp[i] = 1;
}
for (int i = 1; i < m; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
dp[j] += dp[j - 1];
}
}
return dp[n - 1];
}
}
复杂度
- 时间复杂度：
O(mn) - 空间复杂度：
O(n)
