分治算法介绍

概述

分治算法是一种通过将复杂问题分解为较小的子问题，并逐一解决这些子问题，最终合并解决方案来解决原始问题的算法设计策略。

分治算法的核心思想在于"分而治之"——将大问题分解为若干个小问题，并通过递归或迭代的方式解决这些子问题，最后将各个子问题的解合并，得到整个问题的解。

思想

分治算法的基本思想可以概括为以下三个步骤：

分解（Divide）： 将原问题分解成若干个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题相似。

解决（Conquer）： 递归地解决这些子问题。如果子问题足够小，可以直接求解。

合并（Combine）： 将子问题的解合并成原问题的解。

分治算法在很多经典问题中都有广泛的应用，如快速排序、归并排序、最大子数组问题、矩阵乘法分治算法等。

基本原理

分治算法的基本原理在于递归的使用。对于一个复杂问题，我们通过递归将其拆分成更小的子问题，这些子问题的规模不断缩小，直到我们能够轻易解决它们。然后，我们通过合并这些子问题的解来构造出整个问题的解。

分治算法在时间复杂度和空间复杂度方面通常具有较好的表现，因为它通过递归减少了问题的规模，并且利用分治的思想可以并行处理多个子问题。

框架模板

分治算法常用代码模板,以求解问题problem为例:

fun divide_and_conquer(problem) {
    # 分解问题
    subproblems = divide(problem)
    
    # 递归地解决子问题
    subsolutions = subproblems.map { subproblem ->
        divideAndConquer(subproblem)
    }
    
    # 合并子问题的解
    solution = combine(subsolutions)
    
    return solution
}

几种常见的分治算法问题

1. 归并排序

归并排序将数组分为两个子数组，分别排序后合并

fun mergeSort(arr: IntArray): IntArray {
    if (arr.size <= 1) return arr

    val mid = arr.size / 2
    val left = mergeSort(arr.copyOfRange(0, mid))
    val right = mergeSort(arr.copyOfRange(mid, arr.size))

    return merge(left, right)
}

fun merge(left: IntArray, right: IntArray): IntArray {
    var i = 0
    var j = 0
    val result = mutableListOf<Int>()

    while (i < left.size && j < right.size) {
        if (left[i] < right[j]) {
            result.add(left[i])
            i++
        } else {
            result.add(right[j])
            j++
        }
    }

    result.addAll(left.copyOfRange(i, left.size))
    result.addAll(right.copyOfRange(j, right.size))

    return result.toIntArray()
}

// 示例
val arr = intArrayOf(38, 27, 43, 3, 9, 82, 10)
val sortedArr = mergeSort(arr)
println(sortedArr.joinToString(", "))

复杂度分析：

时间复杂度：O(n log n)，其中n是数组的长度。

空间复杂度：O(n)，因为需要额外的空间来合并子数组。

2. 最大子数组问题

找到和最大的连续子数组

fun maxSubArray(arr: IntArray, left: Int, right: Int): Int {
    if (left == right) return arr[left]

    val mid = (left + right) / 2
    val leftMax = maxSubArray(arr, left, mid)
    val rightMax = maxSubArray(arr, mid + 1, right)
    val crossMax = maxCrossingSubArray(arr, left, mid, right)

    return maxOf(leftMax, rightMax, crossMax)
}

fun maxCrossingSubArray(arr: IntArray, left: Int, mid: Int, right: Int): Int {
    var leftSum = Int.MIN_VALUE
    var total = 0
    for (i in mid downTo left) {
        total += arr[i]
        if (total > leftSum) {
            leftSum = total
        }
    }

    var rightSum = Int.MIN_VALUE
    total = 0
    for (i in mid + 1..right) {
        total += arr[i]
        if (total > rightSum) {
            rightSum = total
        }
    }

    return leftSum + rightSum
}

// 示例
val arr = intArrayOf(-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4)
val result = maxSubArray(arr, 0, arr.size - 1)
println(result)

复杂度分析：

时间复杂度：O(n log n)

空间复杂度：O(log n)，主要用于递归调用栈。

3. 快速排序

通过选择基准将数组划分为两部分，然后递归排序。

fun quickSort(arr: IntArray): IntArray {
    if (arr.size <= 1) return arr

    val pivot = arr[arr.size / 2]
    val left = arr.filter { it < pivot }.toIntArray()
    val middle = arr.filter { it == pivot }.toIntArray()
    val right = arr.filter { it > pivot }.toIntArray()

    return quickSort(left) + middle + quickSort(right)
}

// 示例
val arr = intArrayOf(3, 6, 8, 10, 1, 2, 1)
val sortedArr = quickSort(arr)
println(sortedArr.joinToString(", "))

复杂度分析：

最坏情况时间复杂度：O(n^2)，在每次选择最差的基准时发生。

平均时间复杂度：O(n log n)

空间复杂度：O(log n)，用于递归调用栈。

总结

分治算法通过递归地分解问题、解决子问题并合并结果，提供了处理复杂问题的一种高效方法。

归并排序、最大子数组问题和快速排序都是分治算法的经典应用。

把大规模的问题分解成小规模的问题递归求解，应该是计算机思维的精髓了吧，掌握分治算法的思想和实现对于解决许多复杂的计算问题非常有帮助。