如何表示一个物体的世界变换矩阵

物体的世界变换矩阵为

正文

物体的世界变换矩阵由以下几个部分组成

• 位置(Translation)：物体在世界坐标系中的位置
• 旋转(Rotation)：物体相对于世界坐标系的旋转
• 缩放(Scaling)：物体各轴的缩放因子

1.定义位置，旋转，缩放的矩阵

• 位置(Translation)：$T = \begin{vmatrix}t_x& t_y& t_z \end{vmatrix}^T$，转换到齐次坐标系中则表示为$T = \begin{vmatrix} 1& 0& 0& tx \\ 0& 1& 0& ty \\ 0& 0& 1& tz \\ 0& 0& 0& 1 \end{vmatrix}$
• 旋转(Rotation):使用旋转矩阵R表示，通常由欧拉角，四元数或其他表示转换法得到
  • 欧拉角
    • 绕x轴旋转
      $$R_x(\alpha)= \begin{vmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &cos\alpha &-sin\alpha &0 \\ 0 &sin\alpha &cos\alpha &0 \\ 0 &0 &0 &1 \end{vmatrix}$$
    • 绕y轴旋转
      $$R_y(\beta)= \begin{vmatrix} cos\beta &0 &sin\beta &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ -sin\beta &0 &cos\beta &0 \\ 0 &0 &0 &1 \end{vmatrix}$$
    • 绕z轴旋转
      $$R_z(\gamma)= \begin{vmatrix} cos\gamma &-sin\gamma &0 &0\\ sin\gamma &cos\gamma &0 &0\\ 0 &0 &1 &0\\ 0 &0 &0 &1 \end{vmatrix}$$
    假设我们有绕X,Y,Z轴旋转角度分别为$\alpha, \beta, \gamma$, 则旋转矩阵可以表示为这三个基本旋转矩阵的乘积：
    $$R = R_{y}(\beta)·R_{x}(\alpha)·R_{z}(\gamma)$$
    注意：欧拉角表示旋转时需要明确旋转的顺序，不同的顺序会产生不同的结果，在unity中表示旋转矩阵时需要按照ZXY的旋转顺序来运算才能得到正确的结果
  • 四元数
    • 绕x轴旋转$\alpha$
    $$q_x = cos \frac{\alpha}{2} + sin \frac{\alpha}{2} i$$
    • 绕y轴旋转$\alpha$
    $$q_y = cos \frac{\alpha}{2} + sin \frac{\alpha}{2} j$$
    • 绕z轴旋转$\alpha$
    $$q_z = cos \frac{\alpha}{2} + sin \frac{\alpha}{2} k$$
    四元数转换为矩阵
    $$R = \begin{vmatrix} 1-2(y^2 + z^2) &2(xy - yz) &2(xz + wy) &0\\ 2(xy + wz) &1-2(x^2 + z^2) &2(yz - wx) &0\\ 2(xz - wy) &2(yz + wx) &1 - 2(x^2 + y^2) &0\\ 0 &0 &0 &1 \end{vmatrix}$$
• 缩放(Scaling)：$\begin{vmatrix}s_x& s_y& s_z \end{vmatrix}^T$，转换到齐次坐标系中则表示为$T = \begin{vmatrix} s_x& 0& 0& 0 \\ 0& s_y& 0& 0 \\ 0& 0& s_z& 0 \\ 0& 0& 0& 1 \end{vmatrix}$

2.计算变换矩阵

变换矩阵M是位置，旋转和缩放的组合，且位置矩阵，旋转矩阵，缩放矩阵有明确的运算顺序：Scaling -> Rotation -> Translation：

$I$为单位矩阵，引入它来更好的表示运算的顺序

• 先进行缩放：

• 再进行旋转：

这里旋转矩阵采用绕z轴的旋转矩阵，如果x,y,z轴均有旋转，需要组合起来进行运算

• 最后进行平移：

总结

• unity使用列主序矩阵，采用右乘法
• 矩阵M表达的信息为
  • 自身x轴方向$(s_x cos\theta, s_x sin\theta, 0)$
  • 自身y轴方向$(-s_y sin\theta, s_y cos\theta, 0)$
  • 自身z轴方向为$(0, 0, s_z)$