什么是分治算法

分治算法（divide and conquer）的核心思想其实就是四个字，分而治之 ，也就是将原问题划分成 n 个规模较小，并且结构与原问题相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。

定义看起来有点类似递归的定义，分治和递归的区别就是分治算法是一种处理问题的思想，递归是一种编程技巧。实际上，分治算法一般都比较适合用递归来实现。

遵循的步骤：

1. 分解（Divide） ：将原问题分解为若干个规模较小的子问题。这些子问题通常是原问题的较小实例。
2. 解决（Conquer） ：递归地解决各个子问题。如果子问题规模足够小，则直接解决（即达到base case的情况）。
3. 合并（Combine） ：将子问题的解合并为原问题的解。

如何理解分治算法：

• 递归性: 分治算法经常使用递归的方式来解决问题。递归是调用自身的一种算法结构，通过递归可以使问题不断地缩小直至可以直接解决。
• 问题规模缩小: 每一次递归调用都处理比原问题规模更小的子问题。
• 子问题独立: 子问题之间通常是相互独立的，这意味着它们可以并行处理。
• 合并结果: 最后一步是将所有子问题的结果合并起来形成最终答案。

能解决哪些类型的问题？

分治算法能解决的问题，一般需要满足下面这几个条件：

1. 原问题与分解成的小问题具有相同的模式；

2. 原问题分解成的子问题可以独立求解，子问题之间没有相关性，这一点是分治算法跟动态规划的明显区别；

3. 具有分解终止条件，也就是说，当问题足够小时，可以直接求解；

4. 可以将子问题合并成原问题，而这个合并操作的复杂度不能太高，否则就起不到减小算法总体复杂度的效果了。

应用举例

1. 求出一组数据的逆序对个数

逆序对的概念

在数组中，如果对于一对元素 (i, j) 满足 i < j 且 arr[i] > arr[j]，我们称 (arr[i], arr[j]) 是一个逆序对。逆序对的数量可以用来衡量数组的无序程度。

例如，对于数组 [2, 4, 1, 3, 5]，逆序对有 (2, 1) 和 (4, 1)，所以逆序对的个数是 2。

如何求逆序对的个数

我们可以通过暴力的方法来求逆序对，即遍历数组的每一个元素与它后面的元素进行比较，如果发现逆序对就计数。这种方法的时间复杂度为 𝑂(𝑛2)。

然而，更高效的方式是使用 归并排序 这种分治算法，在排序的同时计算逆序对。归并排序的时间复杂度是 𝑂(𝑛log⁡𝑛)，因此计算逆序对的时间复杂度也可以达到 𝑂(𝑛log⁡𝑛)。

归并排序方法求逆序对的思路

1. 分解：将数组分成两半，分别对每一半进行递归求解。
2. 解决：递归地求解每个子数组的逆序对。
3. 合并：在合并两个有序子数组的过程中，计算跨子数组的逆序对数量。

即我们可以将数组分成前后两半 A1 和 A2，分别计算 A1 和 A2 的逆序对个数 K1 和 K2，然后再计算 A1 与 A2 之间的逆序对个数 K3。那数组 A 的逆序对个数就等于 K1+K2+K3。

我们需要明白,在合并左右两半数组的过程中,左右两半数组本身是有序的。这是因为在递归调用的过程中, 我们会一直把数组分成更小的子数组,直到子数组只有一个元素或为空,此时这些子数组就是有序的。然后我们再通过merge()函数将这些有序的子数组合并起来,最终得到整个数组的有序排列。 具体来说，在合并时，如果左半部分的某个元素大于右半部分的某个元素，那么这个左半部分后面的元素与右边的这个元素都形成逆序对。 这是因为我们是在合并有序的左右两半数组,所以如果 arr[i] > arr[j]，说明 arr[i] 应该出现在 arr[j] 的后面,但它却出现在前面,因此 (i, j) 就构成了一个逆序对。

更进一步,如果 arr[i] > arr[j]，那么 arr[i] 后面的所有元素都会与 arr[j] 构成逆序对。这是因为在左半数组中, arr[i] 及其后面的所有元素都应该出现在 arr[j] 的后面,但它们却出现在前面,因此都会与 arr[j] 构成逆序对。

所以,在合并左右两半数组的过程中,每当遇到 arr[i] > arr[j] 的情况,我们就可以计算出 mid - i + 1 个逆序对(即 arr[i] 及其后面的 mid - i 个元素都与 arr[j] 构成逆序对)。

总的来说,在分治算法的合并过程中,我们利用了左右两半数组本身是有序的这一特性,通过比较相应位置的元素大小,就可以计算出合并过程中产生的逆序对个数。这就是整个算法的核心思想。

Swift 代码实现

import Foundation

func countInversions(_ array: [Int]) -> Int {
    var arrayCopy = array
    return mergeSortAndCount(&arrayCopy, 0, array.count - 1)
}

func mergeSortAndCount(_ array: inout [Int], _ left: Int, _ right: Int) -> Int {
    if left >= right {
        return 0
    }
    
    let mid = (left + right) / 2
    var count = 0
    
    // 左半部分逆序对
    count += mergeSortAndCount(&array, left, mid)
    // 右半部分逆序对
    count += mergeSortAndCount(&array, mid + 1, right)
    // 合并并同时计算跨子数组的逆序对
    count += mergeAndCount(&array, left, mid, right)
    
    return count
}

func mergeAndCount(_ array: inout [Int], _ left: Int, _ mid: Int, _ right: Int) -> Int {
    var leftArray = Array(array[left...mid])
    var rightArray = Array(array[mid + 1...right])
    
    var i = 0, j = 0
    var k = left
    var inversions = 0
    
    // 合并两个有序数组并计算逆序对
    while i < leftArray.count && j < rightArray.count {
        if leftArray[i] <= rightArray[j] {
            array[k] = leftArray[i]
            i += 1
        } else {
            array[k] = rightArray[j]
            j += 1
            // 左半部分剩余的所有元素都比当前右半部分元素大，形成逆序对
            inversions += leftArray.count - i
        }
        k += 1
    }
    
    // 复制剩余的左半部分
    while i < leftArray.count {
        array[k] = leftArray[i]
        i += 1
        k += 1
    }
    
    // 复制剩余的右半部分
    while j < rightArray.count {
        array[k] = rightArray[j]
        j += 1
        k += 1
    }
    
    return inversions
}

// 示例用法
let array = [2, 4, 1, 3, 5]
let inversionCount = countInversions(array)
print("Number of inversions: \(inversionCount)")

代码说明

1. countInversions 函数：这是主函数，它接受一个数组并返回数组中的逆序对数量。它调用 mergeSortAndCount 来进行归并排序和逆序对计数。
2. mergeSortAndCount 函数：这个函数递归地对数组进行归并排序，并在排序的过程中计算逆序对的数量。它将数组分为两部分，分别计算左右子数组的逆序对，然后合并并计算跨子数组的逆序对。
3. mergeAndCount 函数：这个函数在合并两个有序子数组的过程中计算跨子数组的逆序对。如果发现左半部分的某个元素大于右半部分的某个元素，那么左半部分的剩余元素都与这个右半部分的元素形成逆序对。

2.分治思想在海量数据处理中的应用

分治算法思想的应用是非常广泛的，并不仅限于指导编程和算法设计。它还经常用在海量数据处理的场景中。

比如，给 10GB 的订单文件按照金额排序这样一个需求，看似是一个简单的排序问题，但是因为数据量大，有 10GB，而我们的机器的内存可能只有 2、3GB 这样子，无法一次性加载到内存，也就无法通过单纯地使用快排、归并等基础算法来解决了。

要解决这种数据量大到内存装不下的问题，我们就可以利用分治的思想。我们可以将海量的数据集合根据某种方法，划分为几个小的数据集合，每个小的数据集合单独加载到内存来解决，然后再将小数据集合合并成大数据集合。实际上，利用这种分治的处理思路，不仅仅能克服内存的限制，还能利用多线程或者多机处理，加快处理的速度。

比如刚刚举的那个例子，给 10GB 的订单排序，我们就可以先扫描一遍订单，根据订单的金额，将 10GB 的文件划分为几个金额区间。比如订单金额为 1 到 100 元的放到一个小文件，101 到 200 之间的放到另一个文件，以此类推。这样每个小文件都可以单独加载到内存排序，最后将这些有序的小文件合并，就是最终有序的 10GB 订单数据了。

如果订单数据存储在类似 GFS 这样的分布式系统上，当 10GB 的订单被划分成多个小文件的时候，每个文件可以并行加载到多台机器上处理，最后再将结果合并在一起，这样并行处理的速度也加快了很多。不过，这里有一个点要注意，就是数据的存储与计算所在的机器是同一个或者在网络中靠的很近（比如一个局域网内，数据存取速度很快），否则就会因为数据访问的速度，导致整个处理过程不但不会变快，反而有可能变慢。

3. 二维平面上有 n 个点，如何快速计算出两个距离最近的点对？

在二维平面上给定 n 个点，快速计算出两个距离最近的点对是一个经典的计算几何问题，称为 最近点对问题（Closest Pair of Points Problem）。使用朴素的暴力解法的时间复杂度为 𝑂(𝑛2)，但可以通过 分治算法 提高效率，将时间复杂度优化到 𝑂(𝑛log⁡𝑛)。

分治法求解思路

分治法求解最近点对问题的基本思路如下：

1. 分解（Divide）：

   • 将点集按 x 坐标排序，并将点集分为左右两部分，分别递归计算每部分的最近点对。

2. 解决（Conquer）：

   • 递归地求解左右两部分中的最近点对。

3. 合并（Combine）：

   • 比较左右两部分的最近点对，并考虑跨越左右部分的点对是否有更小的距离。跨越部分的点对必须位于左右部分中距离分割线较近的区域内。

具体实现步骤

1. 按 x 坐标排序：将所有点按 x 坐标排序。
2. 递归求解：递归地将点集分成两部分，直到每部分只有一个点或两个点。对于小规模的点集（如 2-3 个点），可以直接使用暴力法计算最近点对距离。
3. 合并处理：在合并阶段，首先取左右两部分的最小距离 d，然后在分割线附近宽度为 2d 的区域内寻找横跨左右两部分的点对，计算这些点对的距离并更新最小距离。
4. 返回最近点对：最终返回整个点集的最近点对。

Swift 实现

import Foundation

struct Point {
    let x: Double
    let y: Double
}

func closestPair(_ points: [Point]) -> (Point, Point, Double) {
    // 先按 x 坐标排序
    let sortedPoints = points.sorted { $0.x < $1.x }
    return closestPairRecursive(sortedPoints)
}

func closestPairRecursive(_ points: [Point]) -> (Point, Point, Double) {
    let n = points.count
    if n <= 3 {
        return bruteForce(points)
    }
    
    let mid = n / 2
    let leftPoints = Array(points[0..<mid])
    let rightPoints = Array(points[mid..<n])
    
    // 递归求解左右部分的最近点对
    let (p1, q1, d1) = closestPairRecursive(leftPoints)
    let (p2, q2, d2) = closestPairRecursive(rightPoints)
    
    // 找到左右部分的最小距离
    var d = min(d1, d2)
    var bestPair = d1 < d2 ? (p1, q1) : (p2, q2)
    
    // 合并处理，考虑跨越左右部分的最近点对
    var strip: [Point] = []
    let midX = points[mid].x
    
    for point in points {
        if abs(point.x - midX) < d {
            strip.append(point)
        }
    }
    
    // 按 y 坐标排序
    strip.sort { $0.y < $1.y }
    
    // 检查 strip 中的每对点，更新最小距离
    for i in 0..<strip.count {
        for j in (i+1)..<strip.count {
            if (strip[j].y - strip[i].y) >= d {
                break
            }
            let distance = distanceBetween(strip[i], strip[j])
            if distance < d {
                d = distance
                bestPair = (strip[i], strip[j])
            }
        }
    }
    
    return (bestPair.0, bestPair.1, d)
}

func bruteForce(_ points: [Point]) -> (Point, Point, Double) {
    var minDistance = Double.greatestFiniteMagnitude
    var bestPair: (Point, Point) = (points[0], points[1])
    
    for i in 0..<points.count {
        for j in i+1..<points.count {
            let distance = distanceBetween(points[i], points[j])
            if distance < minDistance {
                minDistance = distance
                bestPair = (points[i], points[j])
            }
        }
    }
    
    return (bestPair.0, bestPair.1, minDistance)
}

func distanceBetween(_ p1: Point, _ p2: Point) -> Double {
    let dx = p1.x - p2.x
    let dy = p1.y - p2.y
    return sqrt(dx * dx + dy * dy)
}

// 示例用法
let points = [    Point(x: 2.0, y: 3.0),    Point(x: 12.0, y: 30.0),    Point(x: 40.0, y: 50.0),    Point(x: 5.0, y: 1.0),    Point(x: 12.0, y: 10.0),    Point(x: 3.0, y: 4.0)]

let (p1, p2, distance) = closestPair(points)
print("最近点对: (\(p1.x), \(p1.y)) 和 (\(p2.x), \(p2.y))")
print("距离: \(distance)")

代码说明

1. Point 结构体：定义了点的坐标。
2. closestPair 函数：主函数，用于计算最近点对。在这里首先按 x 坐标对点进行排序，然后调用递归函数 closestPairRecursive。
3. closestPairRecursive 函数：递归地计算最近点对。它将点集分为左右两部分，分别计算左右部分的最近点对，然后处理跨越左右部分的点对。
4. bruteForce 函数：对于小规模的点集（如 3 个以下的点），使用暴力法计算最近点对。
5. distanceBetween 函数：计算两点之间的距离。