做需求重温小学奥数，视频流大小卡混排实现原理大揭秘

背景

很多视频流app都有大小卡混排的页面，下面举4个例子。 在实现上，整个视频流的数据可能是一个一维列表的形式，比如[大卡，小卡，小卡，大卡，小卡，小卡...]，然后客户端再把这个一维列表渲染成一行大卡，几行小卡的形式。不是任意一个一维列表都能正确渲染出页面，大卡在列表中的位置需要满足一定的要求。本文介绍针对固定每隔n行出一个大卡的情况，怎样给出一个合理的一维列表。

我们先定义下面几个变量：

• numPerRow：每行出几个小卡。
• firstRow：第一个大卡出现在第几行，从1开始数。
• intervalRow：两个大卡之间有多少行小卡。

那么第一个大卡的下标为$(firstRow-1)\times numPerRow$，之后每个大卡的下标间隔为$numPerRow\times intervalRow+1$。 因此大卡的下标集合为$BigI=\{(firstRow-1)\times numPerRow + n\times (numPerRow\times intervalRow+1) | n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\}$

在实现上我们有几个问题。视频流是分次拉取的，所以我们要知道这一刷中哪几个是大卡。一种实现方式是每次下发一个周期，也就是每次下发$numPerRow\times intervalRow+1$个视频，这样每一刷的第一个都是大卡，且仅有一个大卡。但是这样的方式限制了每一刷返回多少个视频，而这个值是一个会影响体验的重要指标，经过多轮实验，我们终于找到一个完美的值，我们不能因为要实现大小卡混发而随意改动这个值。所以我们要用较为复杂的方法计算每一刷中哪几个视频是大卡。同时如果在一刷的最后一行是小卡，而数量不满numPerRow，就会出现右下角缺角，这也是很不好的体验，我们要避免。所以我们不能保证每一刷返回的视频数相同，我们采用把最后缺角的一行过滤掉的办法，最大限度减少对每一刷返回视频数量的影响。于是我们面临两个问题，一个是要感知本刷哪几个视频是大卡，一个是要感知一刷最后一行有几个视频，如果出现缺角就执行过滤。下面我们说说怎样解决这两个问题。

1. 本刷哪几个视频是大卡。

视频流是分次拉取的，一般每次请求，客户端会带一个offset过来，表示已经出了多少个视频，包括大卡与小卡。给定一个offset，我们要知道这一刷中哪几个是大卡。一种实现方式是每次下发一个周期，也就是每次下发$numPerRow\times intervalRow+1$个视频，这样每一刷的第一个都是大卡，且仅有一个大卡。但是这样的方式限制了每一刷返回多少个视频，而这个值是一个会影响体验的重要指标，经过多轮实验，我们终于找到一个完美的值，我们不能因为要实现大小卡混发而随意改动这个值。所以我们要用较为复杂的方法计算每一刷中哪几个视频是大卡。

这个问题基本等同于问截至目前为止，下一个大卡在哪个位置。再后面的大卡位置通过加间隔就能获得。

也就是给定一个offset，我们要找到一个最小的$i\geq offset$使得$i\in BigI$。

令$i=(firstRow-1)\times numPerRow + n_i\times (numPerRow\times intervalRow+1)$，我们有

$(firstRow-1)\times numPerRow + n_i\times (numPerRow\times intervalRow+1)\geq offset$，且

$(firstRow-1)\times numPerRow + (n_i-1)\times (numPerRow\times intervalRow+1)< offset$

我们把问题抽象一下，变成

$a\times n_i + b\geq c$且$a\times (n_i-1) + b< c (a>0,n_i\in \mathbb{Z})$，

于是$n_i\geq \frac{c-b}{a}$且$n_i-1<\frac{c-b}{a}$。

令$x=\frac{c-b}{a}$，也就是说$n_i$是最小的大于等于$x$的整数，这就是数学上天花板的定义，记为

$n_i=\lceil x\rceil=\lceil \frac{c-b}{a}\rceil=\lceil \frac{offset-(firstRow-1)\times numPerRow}{(numPerRow\times intervalRow+1)}\rceil$。

只要算出$n_i$我们就能算出$i$。虽然Go的标准库提供了math.Ceil函数来计算天花板，但是它的入参是float64，浮点数存在精度问题。如果一个数$x$的精确值为1，那么$\lceil x\rceil=1$。但是如果表示用float64表示，有可能$x=1.00001$，math.Ceil(x)=2，导致结果差了1，这样的误差显然是不可接受的，所以我们不能用这个方法来计算天花板。

为了算天花板，我们请出它的兄弟，地板。一个实数$r$的地板$f$，是一个满足$f\leq r$的最大的整数，记作$f=\lfloor r\rfloor$。我们发现在编程语言中，有一个与天花板和地板有千丝万缕关系的运算，整数除法。在包括Go在内的很多编程语言中，如果a和b均为整数类型，a/b的结果也为整数类型，其运算规则为计算$\frac{a}{b}$的值，保留整数部分，丢弃小数部分。下文用$/_{int}$来表示整数除法。事实上，

当$\frac{a}{b}\geq 0$时，$a/_{int}b=\lfloor \frac{a}{b}\rfloor$； 当$\frac{a}{b}\leq 0$时，$a/_{int}b=\lceil \frac{a}{b}\rceil$。

这样当$\frac{a}{b}\leq 0$时，我们会算天花板了，但当$\frac{a}{b}> 0$时，我们还是不会算。但其实我们可以用地板来计算天花板，下面我们介绍怎样做。

我们证明当a和b均为正整数时，$\left\lceil \frac{a}{b} \right\rceil = \left\lfloor \frac{a + b - 1}{b} \right\rfloor$。

当$\frac{a}{b}$为整数时，$\lceil \frac{a}{b}\rceil=\frac{a}{b}$。 且$\frac{a}{b}\leq \frac{a + b - 1}{b} <\frac{a}{b}+1$， 因此$\left\lfloor \frac{a + b - 1}{b} \right\rfloor=\frac{a}{b}=\left\lceil \frac{a}{b} \right\rceil$。

当$\frac{a}{b}$不为整数时，我们把$a$写作$a=k\times b+c$，其中k与c为整数，且$0< c < b$。那么$\frac{a}{b}=k+\frac{c}{b}$。 易得$\lceil \frac{a}{b}\rceil=k+1$。 $\frac{a + b - 1}{b}=k+1+\frac{c-1}{b}$。 易得$k+1\leq k+1+\frac{c-1}{b}< k+2$， 因此$\left\lfloor \frac{a + b - 1}{b} \right\rfloor=k+1=\left\lceil \frac{a}{b} \right\rceil$。 证完。

这样我们就打通了整个计算流程。

当$offset\leq (firstRow-1)\times numPerRow$时，实际上表示当前从未展示过大卡，所以$i=(firstRow-1)\times numPerRow$。用上面公式计算会有问题，因为上面的讨论把$n_i$的范围从非负整数放大到所有整数。

当$offset> (firstRow-1)\times numPerRow$时，

$n_i=\lceil \frac{offset-(firstRow-1)\times numPerRow}{(numPerRow\times intervalRow+1)}\rceil=\lfloor \frac{offset-(firstRow-1)\times numPerRow+(numPerRow\times intervalRow+1)-1}{(numPerRow\times intervalRow+1)}\rfloor=(offset-(firstRow-1)\times numPerRow+numPerRow\times intervalRow)/_{int}(numPerRow\times intervalRow+1)$；

$i=(firstRow-1)\times numPerRow + n_i\times (numPerRow\times intervalRow+1)$。

2. 本刷应该返回多少个视频

如果在一刷的最后一行是小卡，而数量不满numPerRow，就会出现右下角缺角，这也是很不好的体验，我们要避免，所以我们不能保证每一刷返回的视频数相同。我们采用把最后缺角的一行过滤掉的办法，最大限度减少对每一刷返回视频数量的影响。我们用maxLimit表示每一刷最多出多少个视频。

也就是给定offset与maxLimit，我们要求一个最大的小于等于$offset+maxLimit-1$的下标$j$使得第$j$个视频要么是一个大卡，要么所在行有numPerRow个小卡。

如果$offset+maxLimit-1<(firstRow-1)\times numPerRow$，也就是到最后一个大卡都没出，那么$j=m_j\times numPerRow-1\leq offset+maxLimit-1$，

且$j=(m_j+1)\times numPerRow-1> offset+maxLimit-1$。

那么用跟上面类似的套路，$m_j=\lfloor \frac{offset+maxLimit}{numPerRow}\rfloor=(offset+maxLimit)/_{int}numPerRow$；

$j=(offset+maxLimit-1)/_{int}numPerRow\times numPerRow$。

下面讨论$offset+maxLimit-1\geq(firstRow-1)\times numPerRow$的情况。我们可以先求小于等于$offset+maxLimit-1$的最大的大卡的位置$l$，

也就是$l=(firstRow-1)\times numPerRow + n_l\times (numPerRow\times intervalRow+1)\leq offset+maxLimit-1$，且

$(firstRow-1)\times numPerRow + (n_l+1)\times (numPerRow\times intervalRow+1)> offset+maxLimit-1$，

$n_l=\lfloor\frac{offset+maxLimit-1-(firstRow-1)\times numPerRow}{numPerRow\times intervalRow+1}\rfloor=(offset+maxLimit-1-(firstRow-1)\times numPerRow)/_{int}(numPerRow\times intervalRow+1)$。

那么$j=l+m_j\times numPerRow$，$0\leq m_j\leq intervalRow$且m为整数。

同理，$m_j=\lfloor \frac{offset+maxLimit-1-l}{numPerRow}\rfloor=(offset+maxLimit-1-l)/_{int}numPerRow$。

这样j就能计算出来了。$j-offset+1$就是这一刷要出的视频的数量，$offset+maxLimit-1-j$就是要裁掉的视频的数量。

3. 第n行的第一个视频的index

除了大卡与小卡两种，我们有时还有插入另外一些类型的大卡的需求。我们的做法是这些特殊大卡插入到某一行中，单独占一行，不影响大卡小卡的位置计算。如果要把特殊大卡插入到第n行（从1开始算），我们需要计算它应该在整个视频流的第k位，也就是要求第n行的第一个视频的index。

我们分情况来计算。

当$n<firstRow$时，前面全是小卡，所以$k=(n-1)\times numPerRow$。

当$n\geq firstRow$时，我们计算有几个完整周期（一个大卡+intervalRow行小卡），用completeBlocks表示，以及最后的不完整周期有几行，用remainingRows表示。于是

$completeBlocks=(n-firstRow)/_{int}(intervalRow+1)$ $remainingRows=(n-firstRow)\bmod(intervalRow+1)$

当$remainingRows=0$时，$k=(firstRow-1)\times numPerRow+completeBlocks\times (intervalRow\times numPerRow+1)$； 当$remainingRows>0$时，$k=(firstRow-1)\times numPerRow+completeBlocks\times (intervalRow\times numPerRow+1)+(remainingRows-1)\times numPerRow+1$。