排序

快速排序-分治

• O(nlogn)

1. 确定分界点，nums[l] , nums[(r+l)>>1] , nums[r] , nums[rand]
2. 调整区间，|--------- <=x ------ | ------- x=< -----------|
3. 递归处理左右两区间，在左右区间分类好后，从 j 向前的一定是小区间，从 i 开始的一定是大区间

• 在一个只有两个数的区间已经有序【1，2】，如果用边界（l，i-1）（i，r）且x=q[(l+r)>>2] 此时i == j == l ， 就会出现不断递归【1，2】区间，所以这个时候需要x=q[（l+r+1)>>2 ]

void quick_sort(int q[],int l,int r)
{
   if(l>=r)return;
   //1 
   int x=q[(l+r)>>1];
   //2
   int i=l-1;
   int j=r+1;
   while(i<j)//每次交换一次迭代
   {
       do i++;while(q[i]<x);
       do j--;while(q[j]>x);
       if(i<j)swap(q[i],q[j]);
   }
   
   //3
   quick_sort(q,l,j);
   quick_sort(q,j+1,r);
}
void quick_sort(int q[],int l,int r)
{
   if(l>=r)return;
   //1 
   int x=q[(l+r+1)>>1];
   //2
   int i=l-1;
   int j=r+1;
   while(i<j)//每次交换一次迭代
   {
       do i++;while(q[i]<x);
       do j--;while(q[j]>x);
       if(i<j)swap(q[i],q[j]);
   }
   
   //3
   quick_sort(q,l,i-1);
   quick_sort(q,i,r); 
}

归并排序-分治

• O(nlogn)

1. 确定分界点 mid= （l+r）>>1
2. 递归排序 left right
3. 归并-合二为一

 void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;

     //1
    int mid = l + r >> 1;
    
    //2
    merge_sort(q, l, mid);
    merge_sort(q, mid + 1, r);

    //3
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r)
        if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
        else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
   
   //把剩下未判断的数，放入temp
    while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
    while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
    
    for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];
}

二分

• 有单调性一定可以二分，二分不需要单调性（二分本质不一定是单调性）
• 找到某个性质，把区间一分为二，一半满足，一半不满足，二分可以寻找各性质的边界

整数二分

• O(logn)
• check（）==true 在区间的右半边时，check（mid）==true 表示此时 mid 可能是边界那需要 r==mid
• check（）==true 在区间的左半边时，check（mid）==true 表示此时 mid 可能是边界那需要 l==mid 由于（l+r）>>1 是向下取整的所以会出现 mid=l 的情况，所以需要（l+r+1）>>1
• 最后 l or r 一定是 true 区的边界

//这套模板需要考虑的是mid的归属，究竟mid还需不需要包括在下一次二分的区间内
bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
     if (check(l));
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    if (check(l));        
    return l;
}

// 这套板子可以直接记录mid，如果在下次二分中有更好的mid结果，会对ans进行更新
int bsearch_3(int l, int r)
{
    int ans;
    while (l <= r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) 
        {
            r = mid-1;
            ans=mid;
        }
        else l = mid + 1;
    }
    if (check(l));        
    return ans;
}
int bsearch_4(int l, int r)
{
    int ans;
    while (l <= r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) 
        {
            l = mid + 1;
            ans=mid;
        }
        else r = mid - 1;
    }
    if (check(l));        
    return ans;
}

浮点数二分

• O(logn)

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

高精度

• 在输入时，数据太大先用 string 存储
• 大整数存储：将数从个位开始依次存入数组

高精度加法

// C = A + B, A >= 0, B >= 0
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    if (A.size() < B.size()) return add(B, A);

    vector<int> C;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t += A[i];
        if (i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    if (t) C.push_back(t);
    return C;
}

高精度减法

- 需要写判断函数判断 A 是否大于等于 B
bool cmp(vector<int>&A,vector<int>&B)
{
   if(A.size()!=B.size())return A.size()>B.size();
   for(int i=A.size()-1;i>=0;i--)
       if(A[i]!=B[i])return A[i]>B[i]; 
   return true;
}

1. 当 t>=0 时 （t+10）%10=t 当 t < 0 时 （t+10）%10=t+10
2. 去除前导 0

// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t = A[i] - t;
        if (i < B.size()) t -= B[i];
        C.push_back((t + 10) % 10);//1
        if (t < 0) t = 1;
        else t = 0;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();//2
    return C;
}

高精度乘低精度

1. t 没有处理完或者 A 数还没有乘完，循环继续
2. 去除当 b 为 0 时的前导 0

// C = A * b, A >= 0, b >= 0
vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
    vector<int> C;

    int t = 0;
    
    for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )//1
    {
        if (i < A.size()) t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();//2

    return C;
}

高精度除以低精度

// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
{
    vector<int> C;
    r = 0;
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
    {
        r = r * 10 + A[i];
        C.push_back(r / b);
        r %= b;
    }
    reverse(C.begin(), C.end());//#include<algorithm> 
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

前缀和与差分

前缀和

原数据储存从下标 1 开始

一维前缀和

S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
for(int i=1;i<=n;i++)sums[i]=sums[i-1]+nums[i];
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

二维前缀和

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=0;j<n;j++)
    {
        S[i][j]=a[i][j]+S[i-1][j]+S[i][j-1]-S[i-1][j-1]；
    }
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

差分

差分是前缀和的逆运算

一维差分

B[i]=A[i]-A[i-1] 可以表示为 insert（ i ， i ，A[i]）；

给A区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c
void insert(int l,int r,int c)
{
    b[l]+=c;
    b[r+1]-=c
}

二维差分

B[i][j]=A[i][j]-A[i-1][j]-A[i][j-1]+A[i-1][j-1] 可以表示为 insert（ i ， j ， i ， j ，A[i][j]）；

给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c

void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c）
{
    S[x1, y1] += c;
    S[x2 + 1, y1] -= c;
    S[x1, y2 + 1] -= c;
    S[x2 + 1, y2 + 1] += c;
}

双指针算法

for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ )
{
    while (j < i && check(i, j)) j ++ ;

    // 具体问题的逻辑
}
常见问题分类：
    (1) 对于一个序列，用两个指针维护一段区间
    (2) 对于两个序列，维护某种次序，比如归并排序中合并两个有序序列的操作

位运算

• -x=~x+1
• x&-x=x&(~x+1)
• ～x+1 使得 x 最后一位 1 之前的全部取反，最后一位 1 之前的全部恢复和 x 相同

求n的第k位数字: n >> k & 1
返回x的最后一位1：lowbit(x) = x & -x

离散化

vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重复元素

// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1; // 映射到1, 2, ...n
}

区间合并

// 将所有存在交集的区间合并
void merge(vector<PII> &segs)
{
    vector<PII> res;

    sort(segs.begin(), segs.end());//区间左端点排序

    int st = -2e9, ed = -2e9;
    for (auto seg : segs)
        if (ed < seg.first)
        {
            if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
            st = seg.first, ed = seg.second;
        }
        else ed = max(ed, seg.second);

    if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});

    segs = res;
}