希尔排序

希尔排序（Shell Sort）是一种基于插入排序的排序算法，通过优化插入排序中的比较和移动操作，实现更高效的排序。希尔排序通过将数组分成若干子序列分别进行插入排序，使得数据项的步长逐渐减少，最终进行一次普通的插入排序。本文将详细介绍希尔排序的原理、步骤、示例、复杂度分析及其Java代码实现。

希尔排序的原理

分组：将待排序数组按某个增量分组，对每组分别进行插入排序。
缩减增量：逐步缩减增量，重复上述分组和排序过程。
最终排序：当增量缩减为1时，对整个数组进行一次普通的插入排序。

希尔排序通过多次分组和排序，使得数组在接近有序的情况下进行最终排序，从而提高效率。

希尔排序的步骤

选择初始增量：选择一个较大的初始增量（一般为数组长度的一半）。
分组并插入排序：按当前增量将数组分组，对每组分别进行插入排序。
缩减增量：将增量减半，重复分组和排序过程。
最终排序：当增量缩减为1时，对整个数组进行一次插入排序。

图示

希尔排序

示例

希尔排序示例

步长

Shell 的原始序列: $\frac{N}{2}$ , $\frac{N}{4}$ , ..., 1 (重复除以 2);
Hibbard 增量: 1, 3, 7, ..., $2^k-1$ ;
Knuth 增量: 1, 4, 13, ..., $\frac{(3^k-1)}{2}$ ;
Sedgewick 增量: 1, 5, 19, 41, 109, ....
它是通过将两个序列的元素交织得到的:

1, 19, 109, 505, 2161,….., $9(4^k–2^k)+1$ , k = 0, 1, 2, 3,…
5, 41, 209, 929, 3905,….. $2^{k+2}(2^{k+2}–3)+1$ , k = 0, 1, 2, 3, …

复杂度分析

步长的选择是希尔排序的重要部分。只要最终步长为1任何步长序列都可以工作。算法最开始以一定的步长进行排序。然后会继续以一定步长进行排序，最终算法以步长为1进行排序。当步长为1时，算法变为普通插入排序，这就保证了数据一定会被排序。

Donald Shell最初建议步长选择为 $\frac {n}{2}$ 并且对步长取半直到步长达到1。虽然这样取可以比 $O(n^{2})$ 类的算法（插入排序）更好，但这样仍然有减少平均时间和最差时间的余地。

步长序列	最坏情况下复杂度
$\frac {n}{2^{i}}$	$O(n^{2})$
$2^{k}-1$	$O(n^{\frac {3}{2}})$
$2^{i}3^{j}$	$𝑂(n\log ^{2}n)$

已知的最好步长序列是由Sedgewick提出的(1, 5, 19, 41, 109,...)。“比较在希尔排序中是最主要的操作，而不是交换。”用这样步长序列的希尔排序比插入排序要快，甚至在小数组中比快速排序和堆排序还快，但是在涉及大量数据时希尔排序还是比快速排序慢。

另一个在大数组中表现优异的步长序列是斐波那契数列除去0和1将剩余的数以黄金分割比的两倍的幂进行运算得到的数列：(1, 9, 34, 182, 836, 4025, 19001, 90358, 428481, 2034035, 9651787, 45806244, 217378076, 1031612713,…)

时间复杂度

最佳情况： $O(n \log^2 n)$
最坏情况： $O(n^2)$
平均情况： $O(n^{1.3})$ 。

空间复杂度

空间复杂度： $O(1)$ 。

希尔排序的代码实现（Java）

public class ShellSort {

    // 主排序函数
    public static void shellSort(int[] arr) {
        int n = arr.length;

        // 选择初始增量
        for (int gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2) {
            // 按增量进行插入排序
            for (int i = gap; i < n; i++) {
                int temp = arr[i];
                int j;
                // 插入排序
                for (j = i; j >= gap && arr[j - gap] > temp; j -= gap) {
                    arr[j] = arr[j - gap];
                }
                arr[j] = temp;
            }
        }
    }

    // 主函数
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {38, 27, 43, 3, 9, 82, 10};
        System.out.println("Given Array:");
        for (int num : arr) {
            System.out.print(num + " ");
        }
        System.out.println();

        // 调用希尔排序函数
        shellSort(arr);

        System.out.println("\nSorted Array:");
        for (int num : arr) {
            System.out.print(num + " ");
        }
        System.out.println();
    }
}