【leetcode】72. 编辑距离

动态规划

1. 定义状态

我们定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示将 word1[0:i] 转换为 word2[0:j] 所需的最小操作数。

2. 状态转移方程

• 如果 word1[i-1] == word2[j-1]，则 dp[i][j] = dp[i-1][j-1]，因为不需要进行任何操作。

• 否则，我们可以进行以下三种操作之一，并选择操作次数最小的那个：

  • 插入：dp[i][j-1] + 1
  • 删除：dp[i-1][j] + 1
  • 替换：dp[i-1][j-1] + 1
  • 因此，状态转移方程为：

dp[i][j] = Math.min(
                dp[i - 1][j] + 1,
                dp[i][j - 1] + 1,
                dp[i - 1][j - 1] + 1
           )

3. 初始化

• dp[0][0] = 0，因为两个空字符串转换不需要操作。
• dp[i][0] = i，将 word1[0:i] 转换为空字符串需要删除 i 个字符。
• dp[0][j] = j，将空字符串转换为 word2[0:j] 需要插入 j 个字符。

var minDistance = function (word1, word2) {
    let len1 = word1.length
    let len2 = word2.length
    let dp = Array.from({ length: len1 + 1 }, () => new Array(len2 + 1).fill(0))
    // 注意这里的初始化需要到len1还有len2的地方终止，包括当前数字
    for (let i = 0; i <= len1; ++i) {
        // delete
        dp[i][0] = i
    }
    for (let j = 0; j <= len2; ++j) {
        // insert
        dp[0][j] = j
    }
    for (let i = 1; i <= len1; ++i) {
        for (let j = 1; j <= len2; ++j) {
            // replace
            if (word1[i - 1] === word2[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
            } else {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1, dp[i - 1][j - 1] + 1)
            }
        }
    }
    return dp[len1][len2]
};

这里把dp数组具象化一点，可以发现，dp[i][j]的结果是左边，上边，以及左上三个值的最小值 + 1，这里与我们的最小路径这一题相似度极高，最小路径仅仅是相邻的左边还有上边的两个值，这一题扩充到了3个而已。