简介（来源于科大讯飞）
图论基本概念涉及图、节点与边的定义，有向图和无向图的区分，以及图的类型（如简单图、多重图和加权图）等。图论是离散数学的一个重要分支，主要研究节点及连接这些节点的边所组成的图形结构。这种结构在计算机科学中有着广泛的应用，如网络分析、社交网络、任务调度等问题都可以抽象为图的问题。
具体来说，一个图由节点集合V和边集合E组成，记作G = (V, E)。节点也称为顶点，代表图中的基本单位，而边则代表节点之间的连接关系。根据边是否有方向，图可以分为有向图和无向图。在无向图中，边(u, v)表示节点u和v之间互相连接；而在有向图中，边具有方向性，即边(u, v)不代表从v到u也有一条边。
图还可以根据其特点分为多种类型。例如，简单图是指没有自环（节点自己连接自己）和多重边（两个节点之间存在多条边）的图。多重图则允许自环和多重边的存在。加权图则为每条边分配了一个权重，通常表示节点之间的距离或连接的成本。
此外，路径和连通性也是图论中的重要概念。一条路径指的是从一个节点出发，通过一系列的边连接到其他节点，最终到达目标节点的路线。如果图中任意两点之间都存在至少一条路径，那么这个图被认为是连通的。对于有向图而言，如果每一对节点之间都能找到一条双向的路径，则称该图为强连通图。
最后，图的表示方法常见的有邻接矩阵和邻接表。邻接矩阵使用一个二维数组来表示节点之间的连接关系，而邻接表则为每个节点维护一个列表，记录与其直接相连的其他节点。这两种表示方法各有优劣，选择哪一种取决于具体的应用场景和图的稀疏性。
总结而言，掌握图论的基本概念和性质是理解和应用图论算法的基础。这些概念不仅能够帮助更好地描述和分析现实世界中的许多问题，还能为解决复杂问题提供有力的工具。
大白话理解图论
在探讨图论时，我们避免过于抽象的讨论，以免造成不必要的困惑。我们以算法中图的实际形态来理解它：简单来说，图是由不同点通过连线组成的图形。当然，图可以没有点，即所谓的“空图”，或者只包含一个单独节点的图。
举个现实生活中的例子，假设屏幕前的你是一个节点，现在你想去买瓶水，那么你和那瓶水之间就可以构成一个简单的图。再举一个更明显的例子，考虑城市地图，你可以将每个地标看作一个节点，那么整张城市地图就是一个典型的图表示。
图的种类
1、空图
2、无向图（图中节点没有方向指定）
3、有向图（图中节点有方向）
4、加权无向图（图中节点没有方向但是有权值）（权值可以理解为两个节点之间的距离）
5、加权有向图（图中节点有方向并且拥有权值）
代码构造图
1、邻接表
要构造一个邻接表，首先需要确定图的顶点和边。假设我们有一个无向图，顶点用整数表示，边用元组表示。我们可以使用字典来表示领接表，其中键是顶点，值是一个列表，表示与该顶点相邻的顶点。
def create_adjacency_matrix(vertices, edges):
# 初始化邻接矩阵，所有元素都为0
matrix = [[0 for _ in range(vertices)] for _ in range(vertices)]
# 遍历边信息，将对应的矩阵元素设为1
for edge in edges:
u, v = edge
matrix[u][v] = 1
matrix[v][u] = 1 # 如果是无向图，需要添加这一行
return matrix
# 示例：构造一个包含4个顶点和5条边的无向图的邻接矩阵
vertices = 4
edges = [(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 0), (0, 2)]
adjacency_matrix = create_adjacency_matrix(vertices, edges)
# 打印邻接矩阵
for row in adjacency_matrix:
print(row)
这段代码首先定义了一个名为create_adjacency_list的函数，它接受一个边的列表作为输入。然后，它遍历边列表，并将每个顶点添加到邻接表中。最后，它将每个顶点的邻接顶点添加到相应的列表中。在这个例子中，我们使用了一个简单的无向图，所以每条边的两个顶点都被添加到彼此的邻接列表中。
2、邻接矩阵
要构造邻接矩阵，首先需要确定图的顶点数和边的信息。邻接矩阵是一个二维数组，其中行和列分别表示图中的顶点，数组元素表示两个顶点之间是否存在边。如果存在边，则对应的元素值为1，否则为0。
def create_adjacency_matrix(vertices, edges):
# 初始化邻接矩阵，所有元素都为0
matrix = [[0 for _ in range(vertices)] for _ in range(vertices)]
# 遍历边信息，将对应的矩阵元素设为1
for edge in edges:
u, v = edge
matrix[u][v] = 1
matrix[v][u] = 1 # 如果是无向图，需要添加这一行
return matrix
# 示例：构造一个包含4个顶点和5条边的无向图的邻接矩阵
vertices = 4
edges = [(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 0), (0, 2)]
adjacency_matrix = create_adjacency_matrix(vertices, edges)
# 打印邻接矩阵
for row in adjacency_matrix:
print(row)
3、邻接矩阵和邻接表的区别（来源于科大讯飞）
邻接矩阵和邻接表是两种用于表示图结构的常用方法，它们在存储方式、空间复杂度以及某些操作的效率上有所不同。以下是对这两种表示方法的详细对比：
1. 存储方式：
- 邻接矩阵：使用一个二维数组来表示图中顶点之间的连接关系。如果顶点i和顶点j之间有边，则矩阵中的
matrix[i][j]元素通常被设置为1（或边的权重，如果是加权图的话）。 - 邻接表：为每个顶点维护一个列表，记录与该顶点直接相连的所有其他顶点。这通常通过一个字典或数组实现，其中键是顶点，值是一个包含所有邻接顶点的列表。
2. 空间复杂度：
- 邻接矩阵：无论图中顶点的连接情况如何，都需要存储一个|V| x |V|大小的矩阵，其中|V|是图中顶点的数量。因此，邻接矩阵的空间复杂度为O(|V|^2)，这在顶点数量较多但边相对较少的情况下，可能会造成较大的空间浪费。
- 邻接表：只存储与每个顶点直接相连的顶点，因此其空间复杂度与边的数量成正比，即O(|E| + |V|)，其中|E|是图中边的数量。对于稀疏图（边数远少于顶点数的平方），邻接表更为空间高效。
3. 时间复杂度：
- 邻接矩阵：查找与某个顶点相连的所有顶点的时间复杂度为O(|V|)，因为需要遍历矩阵的一行。然而，判断两个顶点之间是否存在边可以直接通过矩阵索引，时间复杂度为O(1)。
- 邻接表：查找与某个顶点相连的所有顶点的时间复杂度取决于该顶点的度（即与其相连的顶点数），因此可能从O(1)到O(|V|)不等。判断两个顶点之间是否存在边需要遍历起点的邻接表，时间复杂度最坏为O(|V|)，在邻接表中使用哈希表等数据结构可以优化这一操作。
4. 适用场景：
- 邻接矩阵：更适合于顶点数量较少且边密集的图，例如完全图或几乎每个顶点都与其他顶点相连的情况。
- 邻接表：对于大型稀疏图，即顶点数量多但边相对稀少的情况，邻接表是更理想的选择。
总结来说，邻接矩阵和邻接表各有优势，选择哪种表示形式主要取决于图的特点（如顶点和边的数量，图的稀疏程度）以及具体的应用需求（如需要频繁执行的操作类型）。
