二分查找（有趣的算法讲解）

算法简介（来源于科大讯飞）

二分查找（Binary Search）是一种在有序数组中查找特定元素的高效算法，它通过每次比较将搜索范围缩小一半来工作，直到找到目标值或确定目标值不存在为止。下面将详细地探讨二分查找的各个方面：

1. 基本概念

   • 定义：二分查找是一种在有序数组中查找特定元素的算法。该算法每次比较都将搜索范围缩小一半，直到找到目标元素或确定目标元素不存在。
   • 时间复杂度：由于每次比较都将搜索范围缩小一半，二分查找的时间复杂度为O(log n)，其中n是数组中的元素数量。

2. 历史和应用

   • 历史背景：二分查找由John Mauchly于1946年提出，在计算机科学和各种编程领域中得到了广泛应用。
   • 适用领域：适用于数据库查询、索引搜索以及任何需要快速查找的场景，尤其在处理大数据时表现出色。

3. 实现方法

   • 左闭右闭区间：在此方法中，查找区间定义为[left, right]。循环条件为while (left <= right)，当目标元素大于中间元素时，将left设为middle + 1；反之，将right设为middle - 1。
   • 左闭右开区间：此方法的查找区间为[left, right)。循环条件依然是while (left <= right)，但更新left和right的策略略有不同。当目标元素小于中间元素时，将right设为middle - 1，否则将left设为middle + 1。

4. 挑战和优化

   • 边界处理：二分查找的难点之一在于正确处理边界条件。确保循环终止条件正确是避免常见错误的关键。
   • 防止溢出：计算中值时应使用int middle = left + (right - left) / 2，以避免整数加法溢出的问题。

总的来说，二分查找作为一种高效的查找算法，依赖于元素的有序性来显著减少查找次数。理解并正确实现二分查找，不仅能提高编程效率，还能在多种应用场景中发挥重要作用。学习二分查找的关键在于掌握其基本原理和灵活处理各种边界情况，这将大大增强你的编程能力和问题解决技巧。

大白话讲算法

二分法，本质上是一个简单且高效的搜索方法，它通过不断地将搜索范围分成两半来快速定位目标。让我们通过一个猜数字游戏来直观理解这一过程。假设游戏要求你在0到1000之间猜一个数字，每次猜测后，你会得到三种可能的反馈：猜高了、猜低了或正好猜中。

在首次尝试时，大多数人可能会选择中间值，即500。如果提示“猜高了”，那么下一步的搜索范围就缩小为0到500；反之，如果提示“猜低了”，则搜索范围变为500到1000。接下来，再次选择新范围的中间值进行猜测，比如250或750。通过这种持续的对半划分，搜索范围逐渐缩小，直至最终锁定正确答案。

这种方法不仅适用于简单的游戏，还可广泛应用于生活中各种需要快速定位的场景，如查找文件、故障检测等。二分法以其高效和精确的特点，成为解决问题的有力工具。

视频展示流程

在2021年，我曾在B站发布了一部关于二分法的讲解视频。尽管当时的播放量并不理想，但我对内容的讲解还是蛮自信的。因此，这次我决定不采用手绘漫画的形式，而是将内容直接升级为视频，以更直观、生动的方式再次分享这一主题。

二分法的三种写法

三种写法都基于在一个排序好的列表内寻找目标数(列表一定包含目标数)

1、左闭右闭的写法

def dichA(nums, target):
    left, right = 0, len(nums) - 1  # 闭区间 [left, right]
    while left <= right:  # 区间不为空
        # 循环不变量：
        # nums[left-1] < target
        # nums[right+1] >= target
        mid = (left + right) // 2
        if nums[mid] < target:
            left = mid + 1  # 范围缩小到 [mid+1, right]
        else:
            right = mid - 1  # 范围缩小到 [left, mid-1]
    return left

2、左闭右开的写法

def dichB(nums, target):
    left = 0
    right = len(nums)  # 左闭右开区间 [left, right)
    while left < right:  # 区间不为空
        # 循环不变量：
        # nums[left-1] < target
        # nums[right] >= target
        mid = (left + right) // 2
        if nums[mid] < target:
            left = mid + 1  # 范围缩小到 [mid+1, right)
        else:
            right = mid  # 范围缩小到 [left, mid)
    return left  # 返回 left 还是 right 都行，因为循环结束后 left == right

3、左开右开的写法

def dichC(nums, target):
    left, right = -1, len(nums)  # 开区间 (left, right)
    while left + 1 < right:  # 区间不为空
        mid = (left + right) // 2
        # 循环不变量：
        # nums[left] < target
        # nums[right] >= target
        if nums[mid] < target:
            left = mid  # 范围缩小到 (mid, right)
        else:
            right = mid  # 范围缩小到 (left, mid)
    return right

具体实例

1、在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]

示例 2：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]

示例 3：

输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]

提示：

• 0 <= nums.length <= 105
• 109 <= nums[i] <= 109
• nums 是一个非递减数组
• 109 <= target <= 109

解题思路

经过深度分析，我们决定采用二分查找算法进行优化。具体操作如下：以目标数为基点，设定起始搜索位置；同时，以目标数加一作为终止搜索位置。这样的设置，旨在通过缩小搜索范围，提高查找效率。

实现代码如下

class Solution:
    def searchRange(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:
        def dichB(nums, target):
            left, right = 0, len(nums) 
            while left < right:
                mid = (left + right) // 2
                if nums[mid] < target:
                    left = mid + 1
                else:
                    right = mid  
            return left
        left = dichB(nums, target)
        if left == len(nums) or nums[left] != target:
            return [-1, -1]
        right =  dichB(nums, target + 1) - 1
        return [left, right]