动态规划（Dynamic Programming, DP）是一种在算法设计中非常强大的方法，它通过将复杂问题分解为更小的子问题来解决，并且通过存储这些子问题的解来避免重复计算。这周处理的主要是动态规划中经典并简单的那部分,题目主要是从斐波那契数列和跳台阶问题开始，逐渐深入到最长公共子序列和矩阵最小路径问题等较为复杂的问题,下周将练习更高难度的动态规划题目。
斐波那契数列：DP的启蒙
斐波那契数列是动态规划的经典入门问题。通过递归的方式来定义问题，然后逐步转化为动态规划的解决方案。斐波那契数列的递归定义是：[ F(n) = F(n-1) + F(n-2) ]，其中( F(0) = 0, F(1) = 1 )。通过记忆化递归或迭代的方式，可以避免重复计算，从而达到线性时间复杂度。
跳台阶问题：状态转移的理解
跳台阶问题是另一个基础问题，题目更深入地阐述了状态转移的概念。问题大致描述是：如果台阶数为n，每次可以跳1步或2步，求跳上第n个台阶的总方法数。这个问题可以通过状态转移方程[ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] ]来解决，这便与斐波那契数列惊人地相似。
最长公共子序列：DP的高级应用
最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）问题是一个更高级的应用，它涉及到二维DP表的使用。这个问题要求找出两个序列的最长公共子序列。通过定义状态[ dp[i][j] ]为序列A的前i个字符和序列B的前j个字符的LCS长度，可以推导出状态转移方程,最终解决问题。 这个问题需要了解并掌握如何处理二维DP表，以及如何利用状态转移方程来解决问题。
矩阵最小路径：DP的优化
矩阵最小路径问题是一个具有挑战性的问题，它要求在给定的矩阵中找到从左上角到右下角的最小路径和。这个问题可以通过动态规划来解决，其中每个状态[ dp[i][j] ]代表到达矩阵中(i, j)位置的最小路径和。状态转移方程为： [ dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + matrix[i][j] ] 这个问题则更侧重于如何处理边界条件，以及如何优化DP算法的空间复杂度。
总结
通过这周练习，进一步体会到了动态规划的强大和灵活性。从简单的一维DP问题到复杂的多维问题，每一步对状态的定义、状态转移方程的推导以及边界条件的处理都是有一定的技巧与难度的。动态规划不仅仅是一种算法，更是一种解决问题的思维模式。通过不断的练习和思考，能够更熟练地运用动态规划来解决各种问题，这才是练习算法的最终目的。
