逆天的数学 | 数学科普

前言

所有自然数的和相加为多少呢，即 $1$ $+$ $2$ $+$ $3$ $+$ $4$ $+$ $5$ $+$ $6$ $+$ $\cdots$ $=$ $?$，估计我们都会说是 $+\infty$，但数学家说 $1$ $+$ $2$ $+$ $3$ $+$ $4$ $+$ $5$ $+$ $6$ $+$ $\cdots$ $=$ $-\cfrac{1}{12}$，那么数学家到底是如何计算的呢？以下是数学家使用的最简计算过程，大家自行体会：

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求值：$S=1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots$

解： $S=1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots$

即，$S=$ $1-(1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots)$

则 $S=1-S$，解得 $S=\cfrac{1}{2}$ .

正式求解

求值：$1$ $+$ $2$ $+$ $3$ $+$ $4$ $+$ $5$ $+$ $6$ $+$ $\cdots$ $=$ $?$

解：令 $S_1=$ $1$ $+$ $2$ $+$ $3$ $+$ $4$ $+$ $5$ $+$ $6$ $+$ $\cdots$ ①

再令 $\quad$ $S_2=$ $1$ $-$ $2$ $+$ $3$ $-$ $4$ $+$ $5$ $-$ $6$ $+$ $\cdots$ ②

①-② 得到，$S_1$ $-$ $S_2$ $=$ $4$ $+$ $8$ $+$ $12$ $+$ $16$ $+$ $\cdots$ $=$ 4($1$ $+$ $2$ $+$ $3$ $+$ $4$ $+$ $5$ $+$ $6$ $+$ $\cdots$ )$=$ $4S_1$

即 $-3S_1=S_2$， 则 $S_1=-\cfrac{1}{3}S_2$，以下重点求解 $S_2$，

由于 S_2 $$= $1$ $-$ $2$ $+$ $3$ $-$ $4$ $+$ $5$ $-$ $6$ $+$ $\cdots$

则 $\quad$ $S_2$ $=$ 0+$1$ $-$ $2$ $+$ $3$ $-$ $4$ $+$ $5$ $-$ $6$ $+$ $\cdots$ $\quad$ 此处用 $0$ 补位，是为了错位相加，

则 $2S_2=1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots$，而由上题我们知道，$1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots=\cfrac{1}{2}$，

故 $2S_2=\cfrac{1}{2}$， $S_2=\cfrac{1}{4}$，代入 $S_1=-\cfrac{1}{3}S_2$，

可得到， $S_1=-\cfrac{1}{12}$，即 $1$ $+$ $2$ $+$ $3$ $+$ $4$ $+$ $5$ $+$ $6$ $+$ $\cdots$ $=$ $-\cfrac{1}{12}$，逆天吧 .

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