二分查找解决旋转排序数组

题目介绍

题目描述：

这道题大概一看就很容易想到二分查找，因为二分查找在有序数组中查找的时间复杂是 $O(lgN)$ 。

但这道题的核心点在于给出的数组 nums 并不是一个严格的升序数组，而是由升序数组 "旋转" 而来，下面让我们深入分析一下如何使用二分查找来解决这个问题。

思路分析

假设现在有一个经旋转后的数组 nums = [4,5,6,7,0,1,2], 我们要寻找的 target = 0 。

下面我使用一张图来描述一下现在的 nums：

从上图中我们可以得到两个关键信息：

• 有序数组在经过 “旋转” 后可以看作两段升序区间
• 第二个升序区间（图中红色部分）中的所有值都比第一段区间中的值要小

现在我们计算第一个 mid，mid=3，mid 在 nums 中的位置如下图所示：

从图中可以看到 mid 位于第一个升序区间内，这时我们可以通过比较 target 与 nums[mid] 的值来确定 target 位于 mid 的左边还是右边。

如果 nums[left] < target < nums[mid], 那么 target 位于 left 与 mid 之间的这段升序区间内，可以更新 right = mid-1。注意这一步一定要 target > nums[left], 否则 target 只是小于 nums[mid] 的话，也可以位于第二区间内，这样我们便不能正确更新 right 的值。

不然：target 则位于 mid 与 right 之间，则可以更新 left = mid+1。

这个时候可能有些伙伴会有疑问，那如果 mid 位于第二个升序区间内，上面的逻辑不就不成立了吗？

确实是这样，假如 mid 的位置像下面这样，上面的逻辑则行不通。

假设 mid 位于上图中的位置，我们的逻辑则会与上面的逻辑不同，变成下面的逻辑：

如果 nums[mid] < target < nums[right] ，则可以更新 left = mid+1

不然： traget 位于 mid 的左侧，则可以更新 right = mid - 1

读到这里你可能发现了，我们有一个关键的判断需要实现，那就是确定 mid 的位置是出于第一区间还是第二区间。不同的区间我们有不同的逻辑。

仔细观察你会发现 mid 的位置其实很好确认，这得益于我们上面的一个重要结论：第二区间的所有值都小于第一区间。

有了这个理论基础，则可以通过判断 nums[mid] 与 nums[left] 的关系来确定 mid 的位置：

若 nums[mid] > nums[left] 则说明 mid, 一定在第一区间内，因为第二区间的值都比 nums [left] 要小 否则 mid 应该属于第二区间。

如此以来，我们便清楚了如何在查找的过程中不断更新 left、right 的值来缩小查找范围，这也是二分查找的核心，有了上述分析，我们可以轻松写出查找的代码，如下：

var search = function (nums, target) {
  const n = nums.length
  let left = 0 // 左指针 left
  let right = n - 1 // 右指针 right
  while (left <= right) {
    const mid = Math.floor((right - left) / 2) + left // 计算 mid
    if (target === nums[mid]) {
      return mid // 找到了 target，返回下标 mid
    }
    if (nums[mid] >= nums[left]) {
      // mid 位于第一升序区间
      if (target >= nums[left] && target < nums[mid]) {
        right = mid - 1
      } else {
        left = mid + 1
      }
    } else {
      // mid 位于第二升序区间内
      if (target > nums[mid] && target <= nums[right]) {
        left = mid + 1
      } else {
        right = mid - 1
      }
    }
  }
  return -1
};

总结

本文主要分析了二分查找在解决旋转升序数组中的一些思路，希望能让你对二分查找有更加深入的理解对你有所帮助。