阅读翻译Mathematics for Machine Learning之2.8 Affine Subspaces

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• 首次发表日期：2024-07-24
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2.8 仿射空间

接下来，我们将更详细地考察从原点偏移的空间，即不再是向量子空间的空间。此外，我们还将简要讨论这些仿射空间之间映射的性质，这些映射类似于线性映射。

备注。在机器学习文献中，线性和仿射之间的区别有时并不明确，以至于我们可以发现将仿射空间/映射称为线性空间/映射的参考文献。

2.8.1 仿射空间

定义 2.25（仿射子空间）。设 $V$ 为一个向量空间，$\boldsymbol{x}_0 \in V$，$U \subseteq V$ 为一个子空间。那么子集

称为 $V$ 的仿射子空间或线性流形（linear manifold）。$U$ 称为方向或方向空间（direction space），$\boldsymbol{x}_0$ 称为支点（support point）。在第12章中，我们将这种子空间称为超平面。

注意，如果 $\boldsymbol{x}_0 \notin U$，则仿射子空间的定义排除了 $\mathbf{0}$。因此，对于 $\boldsymbol{x}_0 \notin U$，仿射子空间不是 $V$ 的（线性）子空间（向量子空间）。

仿射子空间的例子有 $\mathbb{R}^3$ 中的点、线和平面，这些点、线和平面不（一定）通过原点。

备注。考虑向量空间 $V$ 的两个仿射子空间 $L = \boldsymbol{x}_0 + U$ 和 $\tilde{L} = \tilde{\boldsymbol{x}}_0 + \tilde{U}$。当且仅当 $U \subseteq \tilde{U}$ 且 $x_0 - \tilde{x}_0 \in \tilde{U}$ 时，$L \subseteq \tilde{L}$。

仿射子空间通常由参数描述：考虑一个 $V$ 的 $k$ 维仿射空间 $L = \boldsymbol{x}_0 + U$。如果 $\left(\boldsymbol{b}_1, \ldots, \boldsymbol{b}_k\right)$ 是 $U$ 的一个有序基，那么每个元素 $\boldsymbol{x} \in L$ 都可以唯一地描述为

其中 $\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{R}$。这种表示称为具有方向向量 $\boldsymbol{b}_1, \ldots, \boldsymbol{b}_k$ 和参数 $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ 的 $L$ 的参数方程。

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**例 2.26（仿射子空间）**

• 一维仿射子空间称为直线，可以写作 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}_0+\lambda \boldsymbol{b}_1$，其中 $\lambda \in \mathbb{R}$，$U=\operatorname{span}\left[\boldsymbol{b}_1\right] \subseteq \mathbb{R}^n$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一维子空间。这意味着直线由一个支点 $\boldsymbol{x}_0$ 和一个定义方向的向量 $\boldsymbol{b}_1$ 定义。参见图 2.13 了解示意图。
• $\mathbb{R}^n$ 的二维仿射子空间称为平面。平面的参数方程为 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}_0+\lambda_1 \boldsymbol{b}_1+\lambda_2 \boldsymbol{b}_2$，其中 $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$，$U=\operatorname{span}\left[\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\right] \subseteq \mathbb{R}^n$。这意味着平面由一个支点 $\boldsymbol{x}_0$ 和两个线性独立的向量 $\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2$ 定义，这两个向量张成方向空间（span the direction space）。
• 在 $\mathbb{R}^n$ 中，$(n-1)$ 维仿射子空间被称为超平面，相应的参数方程为 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}_0+\sum_{i=1}^{n-1} \lambda_i \boldsymbol{b}_i$，其中 $\boldsymbol{b}_1, \ldots, \boldsymbol{b}_{n-1}$ 构成 $\mathbb{R}^n$ 的一个 $(n-1)$ 维子空间 $U$ 的基。这意味着超平面由一个支点 $\boldsymbol{x}_0$ 和 $(n-1)$ 个线性独立的向量 $\boldsymbol{b}_1, \ldots, \boldsymbol{b}_{n-1}$ 定义，这些向量张成方向空间。在 $\mathbb{R}^2$ 中，直线也是超平面。在 $\mathbb{R}^3$ 中，平面也是超平面。

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备注（非齐次线性方程组和仿射子空间）。对于 $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 和 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^m$，线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{x}$ 的解要么是空集，要么是 $\mathbb{R}^n$ 中维度为 $n-\operatorname{rk}(\boldsymbol{A})$ 的仿射子空间。特别地，当 $\left(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\right) \neq (0, \ldots, 0)$ 时，线性方程 $\lambda_1 \boldsymbol{b}_1 + \ldots + \lambda_n \boldsymbol{b}_n = \boldsymbol{x}$ 的解是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个超平面。

在 $\mathbb{R}^n$ 中，每个 $k$ 维仿射子空间都是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的解，其中 $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$，$\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^m$ 并且 $\operatorname{rk}(\boldsymbol{A})=n-k$。回想一下，对于齐次方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$，解是一个向量子空间，我们也可以将其视为一个特殊的仿射空间，其支点为 $\boldsymbol{x}_0=\mathbf{0}$。

2.8.2 仿射映射

类似于我们在 2.7 节讨论的向量空间之间的线性映射，我们可以在两个仿射空间之间定义仿射映射。线性映射和仿射映射密切相关。因此，我们从线性映射中已经知道的许多性质，例如线性映射的复合（composition）是一个线性映射，也适用于仿射映射。

定义 2.26（仿射映射）。对于两个向量空间 $V, W$，一个线性映射 $\Phi: V \rightarrow W$，以及 $\boldsymbol{a} \in W$，映射

是从 $V$ 到 $W$ 的仿射映射。向量 $\boldsymbol{a}$ 被称为 $\phi$ 的平移向量。

• 每一个仿射映射 $\phi: V \rightarrow W$ 也是线性映射 $\Phi: V \rightarrow W$ 和 $W$ 中的平移 $\tau: W \rightarrow W$ 的复合，使得 $\phi = \tau \circ \Phi$。映射 $\Phi$ 和 $\tau$ 是唯一确定的（uniquely determined）。
• 仿射映射 $\phi: V \rightarrow W, \phi^{\prime}: W \rightarrow X$ 的复合 $\phi^{\prime} \circ \phi$ 是仿射的。
• 如果 $\phi$ 是双射的，仿射映射保持几何结构不变。它们还保留维度和平行性。