变换(Transform)(1)-向量、矩阵、坐标系与基本变换

ZEEKANG
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左手系与右手系

众所周知，OpenGL与DirectX使用了不同的屏幕空间坐标系

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如果要将右侧坐标系变为左侧那种，我们只需要做一些旋转操作，将右侧坐标系顺时针旋转180度，再将整个坐标系水平翻转即可。我们可以通过一定的旋转操作将两个坐标系重合，那么我们就称它们具有相同的旋向性（handedness）。

但对于三维坐标系来说，有时单靠旋转不能将两个坐标系重合，比如左手系与右手系。

除了坐标轴的朝向不同外，它们对于正向旋转的定义也不同，分别由左手法则与右手法则定义。一般来说，左手系的旋转正方向是顺时针，而右手系是逆时针。

左右手系之间可以进行相互转换，只需要让任意一轴反转，其他轴保持不变即可。

对于开发者来说，使用左手系和右手系都是一样的，不会影响底层的数学运算，只会在视觉上有一些差别。左右手坐标系在z轴上的移动以及旋转方向是不同的，如果要从一种坐标系转移到另一种坐标系，并保持视觉上的不变，则需要进行一些转换。

Unity中，模型空间和世界空间使用左手系；对于观察空间，则是右手系；对于观察空间，我们目视屏幕的方向一定是z轴，我们的右手边是x轴正方向；右手系则代表着z轴正方向是从屏幕指向了我们，z值越小代表着深度越大，离屏幕越远。

向量

向量的点积运算

向量的点积运算可以用来判断两个向量的方向

  1. 如果两个向量的点积大于0,则它们的夹角小于90度,即它们的方向趋于一致。
  2. 如果两个向量的点积小于0,则它们的夹角大于90度,即它们的方向趋于相反。
  3. 如果两个向量的点积等于0,则它们的夹角等于90度,即它们是正交（垂直）的。

向量的叉积运算

注意运算结果的方向与坐标系的类型有关系，如果是左手系需要用左手定则判断结果向量的方向，右手系则要用右手定则。

叉积一个很常见的应用则是判断一个点是否在三角形内部：

  1. 确定三角形的三个顶点坐标，分别记为 P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), P3(x3, y3, z3)。

  2. 计算三角形的三条边向量:

    • 边向量1: V1 = P2 - P1
    • 边向量2: V2 = P3 - P2
    • 边向量3: V3 = P1 - P3

  3. 计算点 P(x, y, z) 到三角形三条边的叉积向量:

    • N1 = (P - P1) × V1
    • N2 = (P - P2) × V2
    • N3 = (P - P3) × V3
    • 如果三个叉积向量的方向全部相同，则点 P 在三角形内部。
    • 如果三个叉积向量的方向有任何不同，则点 P 在三角形外部。

矩阵

逆矩阵

一个矩阵是逆矩阵(inverse matrix)的前提是它是一个方阵（Square matrix）。

对于一个方阵M\mathbf{M}，它的逆矩阵M−1\mathbf{M}^{-1}有如下的性质：

MM−1 = M−1M = I\mathbf{MM^{-1}} = \mathbf{M^{-1}M} = \mathbf{I}

也不是所有的方阵都有逆矩阵，比如全部元素为0的方阵。

如果一个矩阵的行列式不为0，则它就是可逆的，有逆矩阵。

逆矩阵的几何意义就是，一个矩阵可以用来表示一个变换，而逆矩阵就可以还原这个变换。这很容易证明：

对于一个向量v\mathbf{v}: M−1Mv = Iv = v\mathbf{M^{-1}Mv} = \mathbf{Iv} = \mathbf{v}

正交矩阵

如果一个方阵M\mathbf{M}与它的转置矩阵的乘积是一个单位矩阵，那么这个矩阵就是正交(orthogonal matrix)，反过来也是成立。

MMT = MTM = I\mathbf{MM^{T} = M^{T}M = I}

我们发现这个性质与逆矩阵很相似，所以我们能得出，如果一个矩阵正交，则：

MT=M−1\mathbf{M^{T} = M^{-1}}

这个式子非常有用，在三维变换中我们经常需要求解一个变换的逆矩阵来还原这个变换，而逆矩阵的计算量往往很大，而转置矩阵矩阵很容易求解。

如何知道一个方阵是否是正交矩阵？如果要判断MMT = I\mathbf{MM^{T} = I}成立显然需要一定的计算量，可能和直接求解逆矩阵无异。因此我们更想不需要计算，而是仅仅从一个矩阵的构造过程来判断这个矩阵是否是正交矩阵，那么我们需要了解正交矩阵的几何意义。

以3×33×3的矩阵正交矩阵为例，根据正交矩阵的定义：

MTM=[−c1−−c2−−c3−][∣∣c1c2c3∣∣∣]=[c1⋅c1c1⋅c2c1⋅c3c2⋅c1c2⋅c2c2⋅c3c3⋅c1c3⋅c2c3⋅c3]=[100010001]=I\begin{array}{l}\boldsymbol{M}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{M}=\left[\begin{array}{ccc}- & \mathbf{c}_{1} & - \\- & \mathbf{c}_{2} & - \\- & \mathbf{c}_{3} & -\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}\mid & & \mid \\\mathbf{c}_{1} & \mathbf{c}_{2} & \mathbf{c}_{3} \\\mid & \mid & \mid\end{array}\right] \\=\left[\begin{array}{lll}\mathbf{c}_{1} \cdot \mathbf{c}_{1} & \mathbf{c}_{1} \cdot \mathbf{c}_{2} & \mathbf{c}_{1} \cdot \mathbf{c}_{3} \\\mathbf{c}_{2} \cdot \mathbf{c}_{1} & \mathbf{c}_{2} \cdot \mathbf{c}_{2} & \mathbf{c}_{2} \cdot \mathbf{c}_{3} \\\mathbf{c}_{3} \cdot \mathbf{c}_{1} & \mathbf{c}_{3} \cdot \mathbf{c}_{2} & \mathbf{c}_{3} \cdot \mathbf{c}_{3}\end{array}\right] \\= \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right]=\boldsymbol{I}\end{array}

这样我们就有9个等式

c1⋅c1=1,c1⋅c2=0,c1⋅c3=0c2⋅c1=0,c2⋅c2=1,c2⋅c3=0c3⋅c1=0,c3⋅c2=0,c3⋅c3=1\begin{array}{lll}\mathrm{c}_{1} \cdot \mathrm{c}_{1}=1, & \mathrm{c}_{1} \cdot \mathrm{c}_{2}=0, & \mathrm{c}_{1} \cdot \mathrm{c}_{3}=0 \\\mathrm{c}_{2} \cdot \mathrm{c}_{1}=0, & c_{2} \cdot \mathrm{c}_{2}=1, & c_{2} \cdot \mathrm{c}_{3}=0 \\\mathrm{c}_{3} \cdot \mathrm{c}_{1}=0, & c_{3} \cdot \mathrm{c}_{2}=0, & c_{3} \cdot c_{3}=1\end{array}

那么：

  • 矩阵的每一行是一个单位矢量
  • 矩阵的每一行的矢量相互垂直

因为正交矩阵的性质，这个结果对于每一列也是适用的。如果矩阵满足这样的条件，那么它就是一个正交矩阵，而一组标准正交基满足这个条件。

正交基与标准正交基：

正交基是指在一个向量空间中，一组相互正交的基向量。这意味着基向量之间的点积为零。正交基向量不一定是单位向量，即它们的长度可以不是1。很常见的就是坐标轴。

标准正交基是一组不仅正交而且归一化的基向量。在标准正交基中，每个基向量不仅相互正交，而且都是单位向量（长度为1）。

比如(sin⁡θ, −cos⁡θ)(\sin\theta, -\cos\theta)和(cos⁡θ, sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta)就是一个二维空间中的标准正交基

也就是说如果我们使用标准正交基构造矩阵，例如[sin⁡θ  −cos⁡θ cos⁡θ  sin⁡θ]\begin{bmatrix} \sin\theta & -\cos\theta \\ \cos\theta & \sin\theta \end{bmatrix}那么这个矩阵一定就是正交矩阵。

行矩阵与列矩阵

当一个向量要用来和一个矩阵相乘时，我们就需要考虑将向量转换为行矩阵还是列矩阵。

要注意的是，因为矩阵相乘对两个矩阵的形式是有要求的，并且矩阵的计算顺序也会对结果有影响。

在图形学计算中，一般将矢量转化为列矩阵放在矩阵的右侧进行矩阵相乘。

变换

变换（transform）指的是把一些数据，如点、向量甚至是颜色通过某种方式转换的过程。

线性变换（linear transform）指的是只保留向量加和标量乘的变换。

f(x) + f(y) = f(x + y)f(x) + f(y) = f(x + y)

kf(x) = f(kx)kf(x) = f(kx)

比如缩放变换是一个线性变换，例如放大两倍：f(x) = 2xf(x) = 2x；旋转也是一种线性变换。

对于三维空间中的线性变换，仅用一个3×33×3的矩阵就可以表示所有的线性变换。

线性变换还包括错切（shear）、镜像（mirroring或reflection）、正交投影

但线性变换并不能满足所有的变换，考虑平移变换f(x) = x + (n1, n2, n3)f(x) = x + (n_1, n_2, n_3)，线性变换只满足向量乘不满足向量加，因此三维空间中的变换，仅用一个3×33×3的矩阵是不够的。

为了能够解决使用一个矩阵表示全部变换的问题，仿射变换（affine transform）出现了，它合并了线性变换和平移变换，先进行一次线性变换，再进行一次平移变换。

仿射变换可以用一个4×44×4的矩阵来表示，扩展到了四维空间：齐次坐标空间（homogeneous space）下。

齐次坐标

变换矩阵扩展到4 ×44 ×4后，为了实现变换（矩阵乘法），向量也需要扩展到四维向量，也就是齐次坐标(homogeneous coordinate)。

对于一个点，扩展的方式是将其的ww分量（[x, y, z, w][x, y, z, w])设置为1，对于方向向量来说，则是将其ww分量设置为0。这样的设计有很多原因与好处，最直接的是，对一个点进行齐次坐标的变换时，平移、旋转、缩放都会应用到这个点；而对于方向向量，平移不会应用。

我们将纯位移、纯旋转和纯缩放的变换矩阵叫做基础变换矩阵，而能够表示全部变换的齐次坐标下的4 ×44 ×4矩阵则可以这样分解：

[M3×3t3×101×31]\begin{bmatrix} \mathbf{M_{3×3}} &\mathbf{t_{3×1}} \\ \mathbf{0_{1×3}} &1 \end{bmatrix}

M3×3M_{3×3}用于表示旋转和缩放，t3×1\mathbf{t_{3×1}}用于表示平移，01×3\mathbf{0_{1×3}}是零矩阵

平移

对一个点进行平移变换：

[1 0  0  tx 0  1  0  ty 0  0  1  tz 0  0  0  1 ][x y z 1] = [x + tx y + tyz + tz 1]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} x + t_x \\ y + t_y\\ z + t_z \\ 1 \end{bmatrix}

如果对一个方向向量进行平移操作则不会生效。

平移矩阵的逆矩阵，其实就是反向位移

[1 0  0  −tx 0  1  0  −ty 0  0  1  −tz 0  0  0  1 ]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -t_x \\ 0 & 1 & 0 & -t_y \\ 0 & 0 & 1 & -t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1  \end{bmatrix}

很明显，平移矩阵不是正交矩阵。

缩放

对一个模型沿着x、y和z轴进行缩放：

[kx 0  0  0 0  ky  0  0 0  0  kz  0 0  0  0  1 ][x y z 1] = [kxx kyykzz 1]\begin{bmatrix} k_x& 0 & 0 & 0 \\ 0 & k_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & k_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} k_xx \\ k_yy\\ k_zz \\ 1 \end{bmatrix}

缩放变换对于方向向量同样生效。

如果kx = ky = kzk_x = k_y = k_z，那么这个缩放就是一个统一缩放（uniform scale），否则就是非统一缩放（nonuniform scale）。从视觉上看，统一缩放就是按模型原有的比例去缩放模型，而非统一缩放会压缩或者拉伸模型，更重要的是，统一缩放不会改变一些信息，例如对法线进行变换时，如果使用非统一缩放，就会得到错误的结果。

如果缩放因子中有一个或者三个为负的分量，那么我们就获得了一个反射矩阵（reflection matrix）或者说镜像矩阵（mirror matrix）；如果有两个为负的分量，那么这个矩阵会让物体旋转180度（中心对称）。

通常在检测到一个镜像变换的时候，都会进行一些特殊处理，例如一个顶点顺序为逆时针的三角形经过镜像变换之后变为顺时针，顶点顺序的改变会导致错误的光照效果和背面剔除。如果缩放矩阵的行列式的值为负数，说明这是一个反射矩阵。

缩放矩阵的逆矩阵：

[1kx  0  0  0 0  1ky  0  0 0  0  1kz  0 0  0  0  1 ]\begin{bmatrix} \frac{1}{k_x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{k_y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{k_z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1  \end{bmatrix}

缩放矩阵（一般情况下）也不是正交矩阵。

注意，上面的矩阵用于沿着坐标轴缩放，如果要沿着任意方向进行缩放，则需要先进行一个变换改变朝向，使得缩放轴与坐标轴一致，之后进行缩放，最后使用一个逆变换将朝向变回来。

暂时无法在飞书文档外展示此内容

具体来说，如果给定一个方向f\mathbf{f}，首先将其分解为3个标准正交向量，然后构建旋转变换矩阵

F = [fx  fy  fz  0 0  0  0  1]\mathbf{F} =  \begin{bmatrix} \mathbf{f^x} & \mathbf{f^y} & \mathbf{f^z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

先变换会标准坐标系，也就是先乘以FT\mathbf{F^T}，再进行缩放操作，之后再乘以F\mathbf{F}变换会原来的坐标系

旋转

注意下面提到3个矩阵的旋转

将点绕x轴旋转θ\theta度：

Rx(θ) = [1  0  0  0 0  cos⁡θ  −sin⁡θ  0 0  sin⁡θ  cos⁡θ  0 0  0  0  1 ]\mathbf{R_x(\theta)} =  \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1  \end{bmatrix}

绕y轴旋转：

Ry(θ) = [cos⁡θ  0  sin⁡θ  0 0  1  0  0 −sin⁡θ  0  cos⁡θ  0 0  0  0  1 ]\mathbf{R_y(\theta)} =  \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1  \end{bmatrix}

绕z轴旋转：

Rz(θ) = [cos⁡θ  −sin⁡θ  0  0 sin⁡θ  cos⁡θ  0  0 0  0  1  0 0  0  0  1 ]\mathbf{R_z(\theta)} =  \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1  \end{bmatrix}

旋转矩阵的逆矩阵，只需要旋转相反的角度就可以得到。

旋转矩阵是正交矩阵（注意，这里说的是非齐次坐标下的矩阵，也就是只有M3×3M_{3×3}的部分），而且多个旋转矩阵之间的串联同样是正交的。

如果我们想让物体以某个点为中心，绕三个轴旋转，那么我们可以先向物体平移，使得旋转点与原点重合，再进行旋转。

复合变换

我们可以将平移、缩放、旋转组合起来，而这个变换过程可以用下面的公式表示：

P′ = MtranslationMrotationMscalePP' = M_{translation}M_{rotation}M_{scale}P

而根据矩阵乘法的结合律，TRS这三个矩阵可以提前计算合成一个矩阵P′ = MPP' = \mathbf{M}P，假如有几百万个点都需要应用同样的平移、缩放、旋转矩阵，用提前合成的一个矩阵要比分别使用三个矩阵计算要快得多。

之前提到了我们会将向量转换为列向量，所以上面公式的计算顺序实际上是从右向左；并且矩阵乘法时，矩阵的计算顺序会影响计算结果，也就是我们需要确定好变换的顺序，在绝大多数情况下，我们约定的变换顺序是先缩放，再旋转，最后平移。

除了需要注意不同类型的变换顺序外，我们有时还需要小心旋转的变换顺序。当给出(θx, θy, θz)(\theta_x, \theta_y, \theta_z)的旋转角度时，我们需要定义旋转顺序。在Unity中，这个旋转顺序是zxy，这在旋转相关的API文档中都有说明，

但得到的分解的旋转变换矩阵是：

MrotateZMrotateXMrotateYM_{rotateZ}M_{rotateX}M_{rotateY}

这个矩阵与上面说的计算顺序从右向左冲突了，这是因为有两种不同的旋转方式（即两种不同的坐标系选择）：

第一种方式：

每次旋转都相对于原始固定坐标系EE进行

第二种方式：

每次旋转都相对于上一次旋转后的新坐标系进行。

简单举例来说，如果在Unity中调用transform.Rotate(30, 40, -50)，使用的就是第一种旋转方式，以全局坐标系的顺序进行旋转的，即先旋转 Z 轴，再旋转 X 轴，最后旋转 Y 轴，所有的旋转都是基于物体初始的坐标系。

而如果分开调用 transform.Rotate(new Vector3(0, 90, 0));，transform.Rotate(new Vector3(30, 0, 0)); 和 transform.Rotate(new Vector3(0, 0, -40)); 的情况，每一次调用都会改变物体的局部坐标系，正是因为每次旋转都改变旋转坐标系，所以倒序得到的就和一次调动的结果相同，这就是分解后旋转矩阵是倒序的原因

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