数组：704. 二分查找LeetCode 704. 二分查找题目分析这道题目的前提是数组为有序数组，同时题目还强调数组

704. 二分查找

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给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

示例 1:

输入: nums= [-1,0,3,5,9,12], target= 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

示例 2:

输入: nums= [-1,0,3,5,9,12], target= 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

提示：

你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
n 将在 [1, 10000]之间。
nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。

思路

二分法的前提条件：

数组为有序数组

数组中无重复元素，因为一旦有重复元素，使用二分查找法返回的元素下标可能不是唯一的

二分查找涉及的很多的边界条件，逻辑比较简单，但就是写不好。例如到底是 while(left < right) 还是 while(left <= right)，到底是right = middle呢，还是要right = middle - 1呢？写二分法经常写乱，主要是因为对区间的定义没有想清楚，区间的定义就是不变量。要在二分查找的过程中，保持不变量，就是在 while 寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作，这就是循环不变量规则。

写二分法，区间的定义一般为两种，左闭右闭即[left, right]，或者左闭右开即[left, right)。

二分法第一种写法

第一种写法，定义 target 是在一个在左闭右闭的区间里，也就是[left, right]。因为定义target在[left, right]区间，所以有如下两点：

while (left <= right) 中使用 <= ，因为left == right是有意义的，所以使用 <=
满足 nums[middle] > target 条件时，right 要赋值为 middle - 1，因为当前这个nums[middle]一定不是target，那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是 middle - 1

例如在数组：-1,0,3,5,9,12 中查找元素 0，如图所示：

代码如下：

Java：

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        // 避免当 target 小于nums[0] nums[nums.length - 1]时多次循环运算
        if (target < nums[0] || target > nums[nums.length - 1]) {
            return -1;
        }
        
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] == target) {
                return mid;
            } else if (nums[mid] < target) {
                left = mid + 1;
            } else { // nums[mid] > target
                right = mid - 1;
            }
        }
        
        return -1; // 未找到目标值
    }
}

Kotlin:

class Solution {
    fun search(nums: IntArray, target: Int): Int {
        var left = 0
        var right = nums.size - 1 // [left,right] 右侧为闭区间，right 设置为 nums.size - 1
        while (left <= right) {
            val mid = left + (right - left) / 2
            if (nums[mid] < target) left = mid + 1
            else if (nums[mid] > target) right = mid - 1 // 代码的核心，循环中 right 是闭区间，这里也应是闭区间
            else return mid
        }
        return -1 // 没有找到 target ，返回 -1
    }
}

二分法第二种写法

如果说定义 target 是在一个在左闭右开的区间里，也就是[left, right) ，那么二分法的边界处理方式则截然不同。

有如下两点：

while (left < right)，这里使用 < ,因为left == right在区间[left, right)是没有意义的
nums[middle] > target right 更新为 middle，因为当前nums[middle]不等于target，去左区间继续寻找，而寻找区间是左闭右开区间，所以right更新为middle，即：下一个查询区间不会去比较nums[middle]

在数组：-1,0,3,5,9,12 中查找元素 0，如图所示：

代码如下：

Java：

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.length;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] == target) {
                return mid;
            } else if (nums[mid] < target) {
                left = mid + 1;
            } else { // nums[mid] > target
                right = mid;
            }
        }
        
        return -1; // 未找到目标值
    }
}

Kotlin:

class Solution {
    fun search(nums: IntArray, target: Int): Int {
        var left = 0
        var right = nums.size // [left,right) 右侧为开区间，right 设置为 nums.size
        while (left < right) {
            val mid = left + (right - left) / 2
            if (nums[mid] < target) left = mid + 1
            else if (nums[mid] > target) right = mid // 代码的核心，循环中 right 是开区间，这里也应是开区间
            else return mid
        }
        return -1 // 没有找到 target ，返回 -1
    }
}

总结

二分法是非常重要的基础算法，其主要就是对区间的定义理解清楚，在循环中始终坚持根据查找区间的定义来做边界处理。区间的定义就是不变量，那么在循环中坚持根据查找区间的定义来做边界处理，就是循环不变量规则。

本篇根据两种常见的区间定义，给出了两种二分法的写法，每一个边界为什么这么处理，都根据区间的定义做了详细介绍。