两两独立与相互独立前言将两个数学对象的关系类比推理到三个数学对象时，我们是容易犯错的，比如一元二次方程的求根公式刻画的

前言

将两个数学对象的关系类比推理到三个数学对象时，我们是容易犯错的，比如一元二次方程的求根公式刻画的是两个根的和与积的关系，但是当类比推理到一元三次方程的求根公式时，我们容易只想到三个根的和与三个根的积的关系，很少会想到三个根中的两两的关系 . 参见1；参见2；

两个事件相互独立

定义：对任意两个事件 $A$ 与 $B$ ，如果满足 $P(AB)=P(A)P(B)$ ，则称事件 $A$ 、 $B$ 相互独立，简称为独立；

由定义可知，事件 $A$ ， $B$ 相互独立的充要条件是 $P(AB)=P(A)P(B)$ ；

三个事件两两独立

定义：对任意三个事件 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，若满足 $P(AB)=P(A)P(B)$ ①， $P(BC)=P(B)P(C)$ ②， $P(AC)=P(A)P(C)$ ③，则称三个事件 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 两两独立；

三个事件相互独立

定义：对任意三个事件 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，若满足条件Ⅰ：即 $P(AB)=P(A)P(B)$ ①， $P(BC)=P(B)P(C)$ ②， $P(AC)=P(A)P(C)$ ③，且还满足添加Ⅱ： $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$ ，则称三个事件 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 相互独立；

简言之，同时满足添加Ⅰ和Ⅱ的三个事件 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的关系，称为相互独立，高一阶段暂时了解即可，不做要求；[容易混淆为相互独立就是两两独立，其实两个内涵不一样] .

深入理解：满足条件Ⅰ，不一定满足条件Ⅱ；

【人教 2019A 版教材 $P_{253}$ 页习题10.2 第 2 题】设样本空间 $\Omega={1,2,3,4}$ ，定义事件 $A={1,2}$ ， $B={1,3}$ ， $C={1,4}$ ，请验证 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三个事件两两独立，但 $P(ABC)\neq P(A)P(B)P(C)$ .

解：由题目可知， $AB=AC=BC={1}$ ， $ABC={1}$ ，容易知道， $P(A)=\cfrac{1}{2}$ ， $P(B)=\cfrac{1}{2}$ ， $P(C)=\cfrac{1}{2}$ ，且 $P(AB)=\cfrac{1}{4}=P(A)P(B)$ ， $P(BC)=\cfrac{1}{4}=P(B)P(C)$ ， $P(AC)=\cfrac{1}{4}=P(A)P(C)$ ，则事件 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 两两独立[即满足上述的条件1]；并不一定能得到 $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$ ，理由如下：

接上计算得到， $P(ABC)=\cfrac{1}{4}$ ，但是利用 $P(A)P(B)P(C)=\cfrac{1}{8}$ ，故此时 $P(ABC)\neq P(A)P(B)P(C)$ ；

结论：当三个事件 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 两两独立时，等式 $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$ 不一定成立 . [这是人教2019 A版 $P_{250}$ 页内容的具体例子的解答] .

深入理解：满足条件Ⅱ，不一定满足条件Ⅰ；

【人教 2019A 版教材 $P_{253}$ 页习题10.2 第 5 题】一个正八面体的八个面分别标以数字 1 到 8 ，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为 $\Omega$ = {1,2,3,4,5,6,7,8}，构造适当的事件 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，使得 $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$ 成立，但不满足 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 两两独立 .

解：样本空间 $\Omega={1,2,3,4,5,6,7,8}$ ，则 $n(\Omega)=8$ ，

定义事件 $A={1,2,3,4}$ ， $B={1,3,4,5}$ ， $C={1,4,5,6}$ ，则 $ABC={1}$ ，

由古典概型可知， $P(A)=\cfrac{4}{8}=\cfrac{1}{2}$ ，同理， $P(B)=\cfrac{1}{2}$ ， $P(C)=\cfrac{1}{2}$ ， $P(ABC)=\cfrac{1}{8}$ ，

满足 $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$ ；

又由上可知， $AB={1,3,4}$ ， $AC={1,4}$ ， $BC={1,4,5}$ ，

则 $P(AB)=\cfrac{3}{8}$ ，则 $P(AB)\neq P(A)P(B)$ ，此时 $A$ 、 $B$ 不独立；

$P(AC)=\cfrac{1}{4}$ ，则 $P(AC)=P(A)P(C)$ ，此时 $A$ 、 $C$ 独立；

$P(BC)=\cfrac{3}{8}$ ，则 $P(B)\neq P(B)P(C)$ ，此时 $B$ 、 $C$ 不独立；

故不满足 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 两两独立 .

【解后反思】：此处容易将三个事件的相互独立和三个事件中的两两独立混淆，其实两个内涵不一样；两两独立，每次只涉及两个数学对象，再比如三条直线 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 两两垂直；或者三(四、五)个事件的彼此互斥，也可以称为三(四、五)个事件两两互斥] .

两两独立与相互独立

前言

两个事件相互独立

三个事件两两独立

三个事件相互独立

相关引申