信息安全数学基础第一章作业部分答案

1-4

证明：由算术基本定理，a和b可表示为若干素因子的幂的乘积，即:

由于(a,b)=1,则a与b无相同的素因子，即 $\{ p_i|i=1,2,\cdots,m \} \cap \{ q_i|i=1,2,\cdots,n \} = \emptyset$ ，从而 $a^n$ 与 $b^n$ 也无相同素因子，故 $(a^n,b^n)=1$.

1-5

证明：我们采用反证法，假设 $a \nmid b$ ，这里存在两种情况：

• a存在某个素因子p但b不存在素因子p，则 $a^n$ 也存在素因子p而 $b^n$ 不存在素因子p，故 $a^n \nmid b^n$ ，矛盾
• a，b均存在素因子p但a的素因子p的幂次j大于b的素因子p的幂次k，则 $a^n$ 的素因子p的幂次jn大于 $b^n$ 的素因子p的幂次kn，故 $a^n \nmid b^n$ ，矛盾

综上，假设不成立，即$a \mid b$.

1-6

证明：由于a，b，c互素，则(a,b)=(a,c)=(b,c)=1，且存在整数u，v，s，t，满足

于是 $(ua+vc)(sb+tc)=usab+(uat+bsb+bct)c=1$ ，故(ab,c)=1，从而(ab,c)=(a,b)(a,c)=1.

1-8

证明：假设素数p的平方根是有理数，即

从而 $p=\frac{m^2}{n^2},pn^2=m^2$ ，由于(m,n)=1，由1-4可知 $(m^2,n^2)=1$ ，这与 $pn^2 \mid m^2$ 矛盾，故假设不成立，即素数p的平方根是无理数。

1-13

证明：即证 $70!-61! \equiv 0 \ (mod \ 71)$ ,
即证 $70!-61!=61!(62 \times 63 \times \cdots \times70-1) \equiv 0 \ (mod \ 71)$ ，
而 $(61!,71)=1$ ，故只需证 $62 \times 63 \times \cdots \times70-1 \equiv 0 \ (mod \ 71)$ ，
即证 $62 \times 63 \times \cdots \times70 \equiv 1 \ (mod \ 71)$ ,
而 $62 \times 63 \times \cdots \times70 \equiv (-9) \times (-8) \cdots \times(-1) \ (mod \ 71) = ((-9) \times (-8)) \times ((-6) \times (-4) \times (-3) \times (-1)) \times ((-7) \times (-5) \times (-2)) \ (mod \ 71) =1 \times 1 \times 1 \ (mod \ 71)=1 \ (mod \ 71)$ ，即得证。

1-14

证明：分奇偶两种情况：

• 当 $n=2k+1$ 时，$2^{2k+1}+1 \ (mod \ 3)=2^{2k+1}-2 \ (mod \ 3)=2 \times (2^{2k}-1) \ (mod \ 3)=2 \times (2^k+1)(2^k-1) \ (mod \ 3)$，注意到连续3个自然数$2^k-1,2^k,2^k+1$中必有一个3的倍数，显然 $(2^k, 3)=1$ ，则 $2^k-1$ 或 $2^k+1$ 是3的倍数，故 $2^{2k+1}+1 \ (mod \ 3)=0 \ (mod \ 3)$，即3整除 $2^{2k+1}+1$ 。
• 当 $n=2k$ 时，$2^{2k}+1 \ (mod \ 3)=2 \times (2^{2k-1}+1)-1 \ (mod \ 3) = -1 \ (mod \ 3)$ ，故3不能整除 $2^{2k}+1$ 。

1-15

证明：(1) 即证 $m \mid (a-b)d$，由于 $m \mid (a-b)c$， 且 $\exist \ u, v \in Z,uc+vm=d$ ，从而

故 $m \mid (a-b)d$ .
(2) 利用算术基本定理对 $m_i, i=1,2,\cdots, n$ 分别进行素因子分解，然后讨论即可。