腾讯音乐娱乐集团2024校园招聘-专项技术测试/测试开发笔试（I）腾讯音乐娱乐集团2024校园招聘-专项技术测试/测试开

小红的二叉树计数

题目描述

小红定义一个二叉树为“好二叉树”，当且仅当该二叉树所有节点的孩子数量为偶数（ $0$ 或者 $2$ ）。小红想知道， $n$ 个节点组成的好二叉树，共有多少种不同的形态？答案请对 $10^9+7$ 取模。

数据范围

$1 ≤ n ≤ 3000$

解题思路

所有好二叉树的节点的数量均为奇数；
一棵二叉树的形态由其左子树和右子树的形态决定。

代码实现

int cntOfTrees(int n) {
    const int N = 3e3 + 5, MOD = 1e9 + 7;
    long long dp[N] = {0};
    // 节点个数为偶数时无法构成好二叉树
    if (!(n & 1)) return 0;
    dp[1] = dp[3] = 1;
    for (int i = 5; i <= n; i += 2) {
        for (int j = 1, k = i - 1; j < k; j += 2) {
            dp[i] += (dp[j] * dp[k - j]) % MOD;
            dp[i] %= MOD;
        }
    }
    return (int) dp[n];
}

时间复杂度： $O(n^2)$

空间复杂度： $O(n^2)$

小红的可爱串

题目描述

小红定义一个字符串是可爱串，当且仅当该字符串包含子序列 $red$ ，且不包含子串 $red$ 。

我们定义子序列为字符串中可以不连续的一段，而子串则必须连续。例如 $rderd$ 包含子序列 $red$ ，且不包含子串 $red$ ，因此该字符串为可爱串。

小红想知道，长度为 $n$ 的、仅由 $r$ 、 $e$ 、 $d$ 三种字母组成的字符串中，有多少是可爱串？答案请对 $10^9+7$ 取模。

数据范围

$1 ≤ n ≤ 10^5$

解题思路

包含子串 $red$ 的字符串的集合 ∈ 包含子序列 $red$ 的字符串集合。
可爱串的数量 = 包含子序列 $red$ 的字符串的数量 - 包含子串 $red$ 的字符串的数量。
如何构造包含子串 $red$ 的字符串（记字符串为 $s$ ）？
- 令 $f[i]$ = 长度为 $i$ 的字符串中包含子串 $red$ 的字符串的数量。
- 分为两种情况
  - 若 $s[i]$ 为 $r$ 或 $e$ ，则 $s[i]$ 必定不影响 $f[i]$ ， $f[i] = f[i-1] + f[i-1]$ 。
  - 若 $s[i]$ 为 $d$
    - 若 $s[i]$ 不影响 $f[i]$ ，即 $s[1..i-1]$ 已包含子串 $red$ ，则 $f[i] = f[i-1]$ 。
    - 若 $s[i]$ 影响 $f[i]$ ，即 $s[1..i-3]$ 不含子串 $red$ ，但 $s[i-2..i-1]= re$ ，加上 $s[i]$ 即可构成子串 $red$ ，则 $f[i] = 3^{(i-3)}-f[i-3]$ 。
- 综上， $f[i] = 3 \times f[i-1] + 3^{(i-3)}-f[i-3]$ 。
如何构造包含子序列 $red$ 的字符串（记字符串为 s）？
- 令 $g[i]$ = 长度为 $i$ 的字符串中包含子序列 $red$ 的字符串的数量。
- 分为两种情况
  - 若 $s[i]$ 为 $r$ 或 $e$ ，则 $s[i]$ 必定不影响 $g[i]$ ， $g[i] = g[i-1] + g[i-1]$ 。
  - 若 $s[i]$ 为 $d$
    - 若 $s[i]$ 不影响 $g[i]$ ，即 $s[1..i-1]$ 已包含子序列 $red$ ，则 $g[i] = g[i-1]$ 。
    - 若 $s[i]$ 影响 $g[i]$ ，即 $s[1..i-i]$ 不含子序列 $red$ ，但含子序列 $re$ ，加上 $s[i]$ 即可构成子序列 $red$ ，令 $h[i]$ = 长度为 $i$ 的字符串中不含子序列 $red$ 但含子序列 $re$ 的字符串的数量，则 $g[i] = h[i-1]$ 。
  - 综上所述， $g[i] = 3 \times g[i-1] + h[i-1]$ 。
如何构造不含子序列 $red$ 且含子序列 $re$ 的字符串，即如何计算 $f[i]$ （记字符串为 s）？
- 令 $h[i]$ = 长度为 $i$ 的字符串中不含子序列 $red$ 但含子序列 $re$ 的字符串的数量（第4点中已进行如此假设）。
- $s[i]$ 是否能为 $d$ ？包含子序列 $re$ 、不包含子序列 $red$ 、 $s[i] = d$ ，满足这三个条件的字符串不存在，故不考虑 $s[i] = d$ 的情况。
- 分为两种情况
  - 若 $s[i]$ 为 $r$ ，则 $s[i]$ 必定不影响 $h[i]$ ， $h[i] = h[i-1]$ 。
  - 若 $s[i]$ 为 $e$
    - 若 $s[i]$ 不影响 $h[i]$ ，即 $s[1..i-1]$ 已包含子序列 $re$ 且不含子序列 $red$ ，则 $h[i] = h[i-1]$ 。
    - 若 $s[i]$ 影响 $h[i]$ ，即 $s[1..i-1]$ 不满足（已包含子序列 $re$ 且不含子序列 $red$ ），但含有子序列 $r$ ，加上 $s[i]$ 即可构成子序列 $re$ 。
      
      令条件 $A$ = 不满足（已包含子序列 $re$ 且不含子序列 $red$ ）但含有子序列 $r$ ，设满足条件 $A$ 的字符串为 $t$ ，下面考虑如何构造 $t$ 。
      
      $t$ 的长度为 $i-1$ ， $t$ 至少包含一个子序列 $r$ ，手动将一个子序列 $r$ 填入 $t$ ，记作 $R$ ，并规定手动填入的 $R$ 的左边空位不能填入 $r$ ， $R$ 有 $i-1$ 个位置可以选择，以 $R$ 为界
      - $R$ 左边的空位只可填入 $e$ 或 $d$ ，这是因为，为了防止重复计算，人为规定 $R$ 的左边空位不能填 $r$ 。
      - $R$ 右边的空位只可填入 $r$ 或 $d$ ，这是因为， $R$ 右边空位若填入 $e$ ，则 $s[1..i-1]$ 则含有子序列 $re$ ， $s[i]$ 对 $h[i]$ 无影响，这与前置条件相矛盾，故 $R$ 右边空位不可以填入 $e$ 。
      经过分析， $R$ 左边和右边空位均只可以填入两种字符，共有 $i-2$ 个空位，共有 $2^{(i-2)}$ 种填充方式，又因为 $R$ 有 $i-1$ 中填充方式，故 $t$ 的数量有 $(i-1) \times 2^{(i-2)}$ ，也即 $h[i] = (i-1) \times 2^{(i-2)}$ 。
  - 综上所述， $h[i] = 2 \times h[i-1] + (i-1) \times 2^{(i-2)}$ 。
综上所述，长度为 $n$ 的可爱串的数量为 $g[n]-f[n]$ 。

代码实现

typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 5, MOD = 1e9 + 7;
ll f[N], g[N], h[N];

// 快速幂
ll ksm(ll x, ll n) {
    ll res = 1 % MOD;
    while (n) {
        if (n & 1)res = res * x % MOD;
        x = x * x % MOD;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

int kawaiiStrings(int n) {
    // f[i] = 长度为 i 的字符串中包含子串 red 的字符串的数量
    for (int i = 3; i <= n; i++)
        f[i] = (f[i - 1] * 3 + ksm(3, i - 3) - f[i - 3]) % MOD;
    // h[i] = 长度为 i 的字符串中不含子序列 red 但含子序列 re 的字符串的数量
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        h[i] = (h[i - 1] * 2 + (i - 1) * ksm(2, i - 2)) % MOD;
    // g[i] = 长度为 i 的字符串中包含子序列 red 的字符串
    for (int i = 3; i <= n; i++)
        g[i] = (g[i - 1] * 3 + h[i - 1]) % MOD;
    return int((g[n] - f[n] + MOD) % MOD);
}

时间复杂度： $O(n)$

空间复杂度： $O(n)$

小红的元素乘积

题目描述

小红定义一个数为“完美数”，当且仅当该数仅有一个非零数字。例如 $5000,4,1,10,200$ 都是完美数。小红拿到了一个大小为 $n$ 的数组，她希望选择两个元素，满足它们的乘积为完美数。小红想知道，共有多少种不同的取法？

数据范围

$1 ≤ n ≤ 2000$
$1 ≤ a_i ≤ 10^9$

解题思路

枚举判断即可。

代码实现

typedef long long ll;

bool check(ll x) {
    if (x < 10)return true;
    string s = to_string(x);
    for (int i = 1; i < s.size(); i++)
        if (s[i] != '0')return false;
    return true;
}

int perfectPair(vector<int> &arr) {
    int n = arr.size(), res = 0;
    if (n < 2)return 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            if (check((ll) arr[i] * arr[j]))res++;
        }
    }
    return res;
}

时间复杂度： $O(n^2)$

空间复杂度： $O(1)$

END

题目来源：腾讯音乐娱乐集团2024校园招聘-专项技术测试/测试开发笔试（I）

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