向量空间线性变换向量空间到自身的线性变换 $V$为向量空间,$\mathscr{A}$为向量空间上到自身的线性变换 $$

向量空间到自身的线性变换

$V$ 为向量空间, $\mathscr{A}$ 为向量空间上到自身的线性变换

\mathscr{A}: V \rightarrow V

取向量空间的一组基 $e_{i}$ ,可将线性变换映射到矩阵

\mathscr{A} \begin{bmatrix} e_{1} \\ e_{2} \\ \vdots \\ e_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_{1} \\ e_{2} \\ \vdots \\ e_{n} \end{bmatrix}

即

\mathscr{A} \begin{bmatrix} e_{1} \\ e_{2} \\ \vdots \\ e_{n} \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} e_{1} \\ e_{2} \\ \vdots \\ e_{n} \end{bmatrix}

现考虑一组新基 $u_{i}$ ,有如下变换

\begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ \vdots \\ u_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} t_{11} & \cdots & t_{1n} \\ t_{21} & \cdots & t_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ t_{n1} & \cdots & t_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_{1} \\ e_{2} \\ \vdots \\ e_{n} \end{bmatrix}

即

\begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ \vdots \\ u_{n} \end{bmatrix} = T \begin{bmatrix} e_{1} \\ e_{2} \\ \vdots \\ e_{n} \end{bmatrix}

则 $\mathscr{A}$ 在这组基的表示为

\mathscr{A} \begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ \vdots \\ u_{n} \end{bmatrix} = \mathscr{A} T \begin{bmatrix} e_{1} \\ e_{2} \\ \vdots \\ e_{n} \end{bmatrix} = T \mathscr{A} \begin{bmatrix} e_{1} \\ e_{2} \\ \vdots \\ e_{n} \end{bmatrix} = TA \begin{bmatrix} e_{1} \\ e_{2} \\ \vdots \\ e_{n} \end{bmatrix} = TAT^{-1} \begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ \vdots \\ u_{n} \end{bmatrix}

U,V为向量空间, $\mathscr{A}$ 为向量空间U到V的线性变换

\mathscr{A}: U \rightarrow V

分别取 $u_{i}$ 和 $v_{j}$ 为U和V的一组基,则

\mathscr{A} \begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ \vdots \\ u_{n} \end{bmatrix} = A_{n\times m} \begin{bmatrix} v_{1} \\ v_{2} \\ \vdots \\ v_{m} \end{bmatrix}

分别取 $u'_{i}$ 和 $v'_{j}$ 为U和V的一组新基,其中

\begin{bmatrix} u'_{1} \\ u'_{2} \\ \vdots \\ u'_{n} \end{bmatrix} = U_{n \times n} \begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ \vdots \\ u_{n} \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} v'_{1} \\ v'_{2} \\ \vdots \\ v'_{n} \end{bmatrix} = V_{m \times m} \begin{bmatrix} v_{1} \\ v_{2} \\ \vdots \\ v_{n} \end{bmatrix}

则 $\mathscr{A}$ 在这组基的表示为

\mathscr{A} \begin{bmatrix} u'_{1} \\ u'_{2} \\ \vdots \\ u'_{n} \end{bmatrix} = \mathscr{A} U \begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ \vdots \\ u_{n} \end{bmatrix} = U \mathscr{A} \begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ \vdots \\ u_{n} \end{bmatrix} = UA \begin{bmatrix} v_{1} \\ v_{2} \\ \vdots \\ v_{m} \end{bmatrix} = UAV^{-1} \begin{bmatrix} v'_{1} \\ v'_{2} \\ \vdots \\ v'_{m} \end{bmatrix}