宝藏速成秘籍（7）堆排序法

一、前言

1.1、概念

       堆排序（Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法 。堆是一个近似 完全二叉树 的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。

 1.2、排序步骤  

1. 构建最大堆（或最小堆）：将待排序的数组构建为一个最大堆（或最小堆）。这可以通过从数组末尾开始，依次将每个节点调整到合适的位置来实现。调整的方法是将当前节点与其父节点比较，如果当前节点大于（或小于）父节点，则交换它们的位置，并重复这个过程直到当前节点符合最大堆（或最小堆）的性质。
2. 交换堆顶和末尾元素：将最大堆（或最小堆）的堆顶元素与数组的最后一个元素交换位置。
3. 破坏堆性质：将数组末尾的元素从堆中移除，即将数组的长度减一，并且将堆的根节点进行一次调整，使得剩余元素仍然满足最大堆（或最小堆）的性质。
4. 重复步骤2和步骤3，直到堆的大小为1，即只剩下一个元素。
5. 排序完成：最后得到的数组就是一个有序序列。

二、方法分析

       堆排序是一种基于堆数据结构的比较排序算法。堆是一种完全二叉树，分为最大堆和最小堆。在最大堆中，每个节点的值都大于或等于其子节点的值；在最小堆中，每个节点的值都小于或等于其子节点的值。堆排序通常使用最大堆进行升序排序。堆排序分为两个主要步骤：构建堆和排序。

三、举例说明 

对数组 [4, 10, 3, 5, 1] 进行堆排序

步骤 1：构建最大堆

将数组视为一个完全二叉树，然后从最后一个非叶子节点开始，向前调整每个节点，使其符合最大堆的性质。

1. 初始数组: [4, 10, 3, 5, 1]
   - 二叉树表示：  

         4
        / \
       10  3
      /  \
     5    1

2. 从最后一个非叶子节点开始调整（节点 10，索引 1）。
   - 节点 10 已经大于它的子节点，所以不需要调整。

3. 调整节点 4（索引 0）。
   - 节点 4 的子节点为 10 和 3。由于 10 最大，将 4 和 10 交换。
   - 调整后数组: [10, 4, 3, 5, 1]
   - 二叉树表示：

         10
        / \
       4   3
      / \
     5   1

• 继续调整节点 4。它的子节点为 5 和 1，将 4 和 5 交换。
  - 调整后数组: [10, 5, 3, 4, 1]
  - 二叉树表示：
  

         10
        / \
       5   3
      / \
     4   1

现在，我们已经构建了一个最大堆。

步骤 2：排序

将堆顶元素（最大值）与堆的最后一个元素交换，然后将剩余元素重新调整为最大堆，重复该过程直到所有元素有序。

1. 交换 10 和 1，并调整剩余部分为最大堆。
   - 调整后数组: [1, 5, 3, 4, 10]
   - 重新调整：

         1
        / \
       5   3
      /
     4

 - 节点 1 的子节点为 5 和 3，将 1 和 5 交换。
- 调整后数组: [5, 1, 3, 4, 10]
- 继续调整节点 1，将 1 和 4 交换。
- 调整后数组: [5, 4, 3, 1, 10]
- 二叉树表示：

         5
        / \
       4   3
      /
     1

2. 交换 5 和 1，并调整剩余部分为最大堆。
   - 调整后数组: [1, 4, 3, 5, 10]
   - 重新调整：

         1
        / \
       4   3

   - 节点 1 的子节点为 4 和 3，将 1 和 4 交换。
- 调整后数组: [4, 1, 3, 5, 10]
- 二叉树表示：

         4
        / \
       1   3

3. 交换 4 和 3，并调整剩余部分为最大堆。
   - 调整后数组: [3, 1, 4, 5, 10]
   - 重新调整：

         3
        / 
       1

  - 节点 3 的子节点为 1，不需要调整。

4. 交换 3 和 1。
   - 调整后数组: [1, 3, 4, 5, 10]
   - 重新调整：没有需要调整的部分。

最终，数组变为有序的 [1, 3, 4, 5, 10]。

通过上述步骤，堆排序成功地对数组进行了升序排列。

四、编码实现 

 下面是用Java实现的堆排序算法：

public class HeapSort {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {4, 10, 3, 5, 1};
        heapSort(arr);
        System.out.println("排序后的数组：");
        for (int num : arr) {
            System.out.print(num + " ");
        }
    }

    public static void heapSort(int[] arr) {
        // 构建大顶堆
        for (int i = arr.length / 2 - 1; i >= 0; i--) {
            adjustHeap(arr, i, arr.length);
        }
        // 调整堆结构+交换堆顶元素与末尾元素
        for (int j = arr.length - 1; j > 0; j--) {
            swap(arr, 0, j);
            adjustHeap(arr, 0, j);
        }
    }

    public static void adjustHeap(int[] arr, int i, int length) {
        int temp = arr[i]; // 先取出当前元素i
        for (int k = i * 2 + 1; k < length; k = k * 2 + 1) { // 从i结点的左子结点开始，也就是2i+1处开始
            if (k + 1 < length && arr[k] < arr[k + 1]) { // 如果左子结点小于右子结点，k指向右子结点
                k++;
            }
            if (arr[k] > temp) { // 如果子节点大于父节点，将子节点值赋给父节点（不用进行交换）
                arr[i] = arr[k];
                i = k;
            } else {
                break;
            }
        }
        arr[i] = temp; // 将temp值放到最终的位置
    }

    public static void swap(int[] arr, int a, int b) {
        int temp = arr[a];
        arr[a] = arr[b];
        arr[b] = temp;
    }
}

 五、方法评价 

1. 时间复杂度：堆排序的时间复杂度是O(nlogn)，其中n是待排序数组的长度。构建堆的时间复杂度是O(n)，每次调整堆的时间复杂度是O(logn)，共需要进行n-1次调整。因此，总的时间复杂度为O(nlogn)。
2. 空间复杂度：堆排序的空间复杂度为O(1)，即不需要额外的空间进行排序。
3. 稳定性：堆排序是一种不稳定的排序算法。在交换堆顶和末尾元素的过程中，可能会改变相同元素的相对顺序。
4. 原地排序：堆排序是一种原地排序算法，即不需要额外的辅助空间。

结语 

容易实现的那不叫梦想

轻言放弃的算不上努力

想成功，先发疯，不顾一切向前冲

！！！