染色法判定二分图染色法判定二分图给定一个 n𝑛 个点 m𝑚 条边的无向图，图中可能存在重边和自环。请你判断这个图

染色法判定二分图

给定一个 n𝑛 个点 m𝑚 条边的无向图，图中可能存在重边和自环。

请你判断这个图是否是二分图。

输入格式

第一行包含两个整数 n𝑛 和 m𝑚。

接下来 m𝑚 行，每行包含两个整数 u𝑢 和 v𝑣，表示点 u𝑢 和点 v𝑣 之间存在一条边。

输出格式

如果给定图是二分图，则输出 Yes，否则输出 No。

数据范围

1≤𝑛,𝑚≤10^5^

输入样例：

输出样例：

Yes

什么叫二分图

有两顶点集且图中每条边的的两个顶点分别位于两个顶点集中，每个顶点集中没有边直接相连接！
说人话的定义：图中点通过移动能分成左右两部分，左侧的点只和右侧的点相连，右侧的点只和左侧的点相连。
下图就是个二分图：

下图不是个二分图：

如果判断一个图是不是二分图？

开始对任意一未染色的顶点染色。
判断其相邻的顶点中，若未染色则将其染上和相邻顶点不同的颜色。
若已经染色且颜色和相邻顶点的颜色相同则说明不是二分图，若颜色不同则继续判断。

染色法

将所有点分成两个集合，使得所有边只出现在集合之间，就是二分图
二分图：一定不含有奇数环，可能包含长度为偶数的环，不一定是连通图

dfs版本

代码思路：
- 染色可以使用1和2区分不同颜色，用0表示未染色
- 遍历所有点，每次将未染色的点进行dfs, 默认染成1或者2
- 由于某个点染色成功不代表整个图就是二分图,因此只有某个点染色失败才能立刻break/return
  - 染色失败相当于存在相邻的2个点染了相同的颜色

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = 2e5 + 10; // 由于是无向图, 顶点数最大是N，那么边数M最大是顶点数的2倍
int e[M], ne[M], h[N], idx;
int st[N];

void add(int a, int b){
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

bool dfs(int u, int color) {
    st[u] = color;

    for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]){
        int j = e[i];
        if(!st[j]) {
            if(!dfs(j, 3 - color)) return false;
        }else if(st[j] == color) return false;
    }
    
    return true;

}

int main(){
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m --){
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b), add(b,a);  // 无向图，a->b, b->a
    }
    
    bool flag = true;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        if(!st[i]){
            if(!dfs(i, 1)){
                flag = false;
                break;
            }
        }
    }
    
    if(flag) puts("Yes");
    else puts("No");
    return 0;

}

bfs版本

代码思路
- 颜色 1 和 2 表示不同颜色, 0 表示未染色
- 定义queue是存PII，表示 <点编号, 颜色>,
- 同理，遍历所有点, 将未染色的点都进行bfs
- 队列初始化将第i个点入队, 默认颜色可以是1或2
  - while (队列不空)
  - 每次获取队头t, 并遍历队头t的所有邻边
    - 若邻边的点未染色则染上与队头t相反的颜色，并添加到队列
    - 若邻边的点已经染色且与队头t的颜色相同, 则返回false

C++ 代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = 2e5 + 10;
typedef pair<int, int> PII;

int e[M], ne[M], h[N], idx;
int n, m;
int st[N];

void add(int a, int b){
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

bool bfs(int u){
    int hh = 0, tt = 0;
    PII q[N];
    q[0] = {u, 1};
    st[u] = 1;

    while(hh <= tt){
        auto t = q[hh ++];
        int ver = t.first, c = t.second;
    
        for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i]){
            int j = e[i];
    
            if(!st[j])
            {
                st[j] = 3 - c;
                q[++ tt] = {j, 3 - c};
            }
            else if(st[j] == c) return false;
        }
    }
    
    return true;

}

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);
    while(m --){
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b), add(b, a);
    }
    
    int flag = true;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        if (!st[i]){
            if(!bfs(i)){
                flag = false;
                break;
            }
        }
    }
    
    if (flag) puts("Yes");
    else puts("No");
    return 0;

}