洛谷 [P2651] 添加括号III

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题意

定义这样的一个序列：

• A = $a_1 a_2 a_3 ...... a_n$ 它们代表 $a_1 / a_2/a_3 ..... /a_n$ 想通过在元素之间添加一些括号，使得这个式子 算出来的是个整数.

解法

通过观察我们可以发现，无论如何添加括号 $a_1$ 总是分子 ，$a_2$ 一定是分母 , $a_3 , a_4 ....... a_n$ 算出来的 一定要是一个整数 ，为什么呢？ 我们将分母消除到最少了 , 更多必然无利且可能有害, 那么我们可以变形一下式子。

这里说明如何将$a_3 a_4 .... a_n$ 转化到分子上面去

我们将 $a_1 / a_2 / a_3 ..... /a_{n - 1}$ , 将前面看成一个整体 $x / a_{n - 1} / a_n$ , 此时 $a_n$ 就被乘到分子上去了。 即下式 $x * a_n / a_{n - 1}$ 我们只需要屡试不爽的使用整体角度，将分母的分母翻上去即可 , 最后就可以得到$a_1 * a_3 * a_4 ...... a_n / a_2$。

两种做法

• 高精度：可以将前面一堆数乘起来，但是考虑精度问题，需要使用高精度。如果您愿意的话，那么请随意。

• gcd : 我们发现如果满足条件的话 ，$a_1 * a_3 ..... a_n$ 一定是 a_2 的正整数倍 $i.e. x * a_2 , x∈{\Z^\*}$, 那么这一堆乘积里面一定有关于 $a_2$ 的所有相关质因数 而这些质因数都一定来自 $a_1 a_3 ..... a_n$ , 那么我们只需要每次求出 $gcd(a_2 , a_i) i ∈(1 , 3 , 4 .....)$ , 再从$a_2$ 中去掉这个质因数的相关部分即可。

  相当于每次求出两个数质因数的相交部分，从 $a_2$ 中去掉 ， 如果$a_2$ 可以整除 $a_1 * a_3 ..... a_n$ 里 面一定包含了 $a_2$ 所以我们一定最后得到的$a_2$ 等于 1 ， 如果不是 1 ， 说明不包含 ，则不可以整除。