高效数据排序技术：堆排序算法详解与应用

Rockivy
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堆排序概念补充

  1. 堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序， 它的最坏、最好、平均时间复杂度均为 O(nlogn)， 它也是不稳定排序。

  2. 堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值， 这种情况称为大顶堆，注意:没有要求结点的左孩子的值和右孩子的值的大小关系。

  3. 每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值， 这种情况称为小顶堆。

  4. 大顶堆举例说明:

  1. 小顶堆举例说明:

  1. 如果要求排序为升序，一般采用大顶堆，每次将堆顶元素与未排序的最后一个元素交换，再调整堆。
  2. 如果要求排序为降序，一般采用小顶堆，每次将堆顶元素与未排序的最后一个元素交换，再调整堆。

基本思想

  1. 将待排序序列构造成一个大顶堆。

  2. 此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。

  3. 将其与末尾元素进行交换， 此时末尾就为最大值。

  4. 然后将剩余 n-1 个元素重新构造成一个堆， 这样会得到 n 个元素的次小值。 如此反复执行， 便能得到一个有序序列了。

可以看到在构建大顶堆的过程中，元素的个数逐渐减少，最后就得到一个有序序列了。

堆排序步骤图解

数组 {4,6,8,5,9},要求使用堆排序法，将数组升序排序(升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。

构造

  1. 将给定无序序列结构如下。

  1. 从最后一个非叶子结点开始，从右至左，从下至上进行调整。 调整规则：找到该节点和他的所有儿子。如果该节点中存的值是找到节点值中的最大值，则不进行调整。如果不是，就将该节点的值和最大值进行交换，然后递归的调整和该节点交换值得那个节点。如下图：

  2. 最后一个非叶子结点开始（也就是下面的 6 结点），从右至左，从下至上进行调整。6 有两个儿子：5 和 9，这三个值中 9 最大。6 和 9 交换。

  1. 因为 6 和 9 交换了，递归处理现在保存 6 的那个节点，发现它没有儿子，停止递归。

  2. 找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4 和 9 交换。

  1. 因为 4 和 9 交换了，递归处理现在保存 4 的那个节点: 找到它的两个儿子：5, 6, 其中 6 最大，交换 4 和 6。

  1. 然后继续递归处理，发现现在保存4 的节点没有儿子，停止。

  2. 此时，我们就将一个无序序列构造成了一个大顶堆。

排序

  1. 将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。如下图：
  2. 将堆顶元素 9 和末尾元素 4 进行交换。

  1. 重新调整结构（规则如上），使其继续满足堆定义。

  1. 再将堆顶元素 8 与末尾元素 5 进行交换，得到第二大元素 8。

  1. 后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序。

总结

  1. 将无序序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆。

  2. 将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素”沉”到数组末端。

  3. 重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。

本题可以使用堆排序，构造小顶堆，然后输出堆顶，输出后把堆顶和堆尾交换。重复执行m次即可。 代码中是从下标1开始存数组，图解是下标0开始的。图是为了说明原理，代码是为了方便编写。

题目

输入一个长度为 n 的整数数列，从小到大输出前 m 小的数。

输入格式 第一行包含整数 n 和 m 。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

输出格式 共一行，包含 m 个整数，表示整数数列中前 m 小的数。

数据范围 1 ≤ m ≤ n ≤ 10^5^ ， 1 ≤ 数列中元素 ≤ 10^9^ 输入样例： 5 3 4 5 1 3 2 输出样例： 1 2 3

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int a[N];//保存数组
int n, m;//n个点，求前m小
int r ;//堆得右边界
void down(int u)//调整函数
{
    //t记录最小点的编号
    int t = u;

    //有左儿子，并且左儿子比t节点的值小，更新t
    if(2 * u <= r && a[2 * u] < a[u]) t = 2 * u;

    //有右儿子，并且右儿子比t节点的值小，更新t
    if(2 * u + 1 <= r && a[2 * u + 1] < a[t]) t = 2 * u + 1;

    //如果待调整点不是最小的
    if(u != t)
    {
        //和最小的交换
        swap(a[u], a[t]);

        //递归处理
        down(t);
    }
}



int main()
{
    cin >> n >> m;
    r = n;//开始时，右边界是数组边界

    //读入数据
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        cin >> a[i];
    }

    //从第一个非叶节点开始，从右到左，从下到上处理每个节点
   for(int i = n /2 ; i >= 1; i--)
   {
       down(i);
   }

    //输出m个最小值
    while (m -- )
    {
        //堆顶保存的最小值，输出堆顶
        cout << a[1] << " ";

        //将堆顶和右边界交换
        swap(a[1], a[r]);

        //右边界左移
        r--;

        //从新处理堆顶
        down(1);
    }
}
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