Codeforces Round 951 C

题目

Problem - C - Codeforces

题意

给定一个序列 $K = { k_1 , k_2 ..... , k_i , ..... k_n}$ , 要求构造出$X = {x_1 , x_2 , .... , x_n}$ , 使得${\forall}{x_i} , {k_i}$ 都有 $x_i * k_i > \sum_{i = 1}^{n}x_i$ , 其中$1 \leq i \leq n$ , 如果无解则输出$-1$。

解法

• 考虑$|K| = n$ 时, 其中 $n \geq 2$, 我们有 $k_1 , k_2 , ...... , k_n$ , 那我们需要使得以下满足。

为了使上面这个不等式满足 , 那么一定需要 $min \ (k_1 * x_1 ,\ k_2 * x_2 , ..... , k_n * x_n) > x_1 + x_2 + x_3 ... x_n$。

我们不妨设$k_s * x_s$ 最小 , 其中 $1 \leq s \leq n$，那么我们一定有下式成立。

移项可得

又由前提$k_s * x_s$ 最小 , 那么可以得到 $k_s * x_s \leq {\forall}i_{1 \leq i \leq n} x_i * k_i$。

将上两式合并，我们可以得到

• 结论： 如果存在合法解 , 那么上式成立。观察到 $k_s * x_s = x_i * k_i$ , 那么就一定存在一组$X$使得 , 所有的$k_i * x_i$ 都相等。

• 使得$k_i * x_i$ 都相等 ， 那等于什么？一个简单的做法 , 就是取$L = lcm_{i=1}^nk_i$ , 那么我们可以使得所有的 $k_i * x_i = L$ , 那么我们可以很容易求出 $x_i = \frac{L}{k_i}$ 。 但是求出$L$ 的时候 ，检查一下是否大于 $\sum_{i=1}^{n}x_i$。 如果成立 ， 那么合法， 输出$\frac{L}{k_i}$ 即可 。 如果不成立输出 $-1$。

问题得解！

致谢

湖大Ll大佬的指点 , 受到启发不尽感激。