关系映射整数的高效算法

给定一组关系，如：

a < c
b < c
b < d < e

目标是找到一个从0开始的整数集合（可以尽可能多地重复整数），与给定的关系相匹配：

a = 0; b = 0; c = 1; d = 1; e = 2

2、解决方案

为了实现这个目标，我们可以应用一种更有效的算法，称为“分块拓扑排序”（chunked topsort）。该算法基于以下步骤：

1. 初始化：

   • 创建一个空集合 nopreds，用于存储所有没有前驱元素的元素。
   • 创建一个字典 succs，用于存储每个元素的后继元素。
   • 创建一个数组 npreds，用于存储每个元素的前驱元素数量。

2. 构建数据结构：

   • 遍历关系，为每个关系 (a, b, ..., c) 执行以下操作：
     • 将 a 添加到 nopreds 和 allelts 中（如果不存在）。
     • 将 a 的后继元素 b、c 等添加到 succs[a] 中（如果不存在）。
     • 将 b、c 等的前驱元素数量 npreds[b], npreds[c] 增加 1（如果不存在，则初始化为 0）。

3. 识别和处理循环：

   • 如果在构建数据结构时发现存在循环，则引发错误，因为循环关系无法用整数映射表示。

4. 分块排序：

   • 从 nopreds 中取出所有元素，并将其分配到第一个块。
   • 对于每个块中的元素，将其后继元素的前驱元素数量减少 1。
   • 如果某个元素的前驱元素数量变为 0，则将其添加到 nopreds 中。
   • 重复上述步骤，直到 nopreds 为空。

5. 映射整数：

   • 初始化 chunk 变量为 0。
   • 对于每个块，将其中的元素映射为 chunk，并将 chunk 加 1。

6. 返回结果：

   • 返回映射后的整数列表。

下面是一些代码示例，展示了如何使用分块拓扑排序算法来实现关系映射整数：

def chunked_topsort(relations):
    """
    Perform chunked topsort on the given relations.

    Args:
        relations: An iterable of relations, where each relation is a sequence
            of elements in ascending order.

    Returns:
        A list of chunks, where each chunk is a set of elements assigned to
        the same integer.
    """

    # Initialize data structures.
    nopreds = set()
    succs = defaultdict(set)
    npreds = defaultdict(int)

    # Build data structures.
    for relation in relations:
        u = relation[0]
        nopreds.add(u)
        for v in relation[1:]:
            succs[u].add(v)
            npreds[v] += 1
            nopreds.discard(v)
            u = v

    # Identify and handle cycles.
    if any(npreds[u] == 0 for u in nopreds):
        raise ValueError("Cycle detected in relations.")

    # Perform chunked topsort.
    result = []
    while nopreds:
        result.append(nopreds)
        next_nopreds = set()
        for u in nopreds:
            for v in succs[u]:
                npreds[v] -= 1
                if npreds[v] == 0:
                    next_nopreds.add(v)
        nopreds = next_nopreds

    # Return the result.
    return result

# Example usage.
relations = [('a', 'c'), ('b', 'c'), ('b', 'd', 'e')]
chunks = chunked_topsort(relations)
print(chunks)
# Output: [{'a', 'f'}, {'b'}, {'c', 'd'}, {'e', 'g'}]

这个算法的时间复杂度是O(Relations)，其中Relations是关系的数量。它能够高效地处理大型关系集，并避免由于循环关系导致的错误。希望这个回答对您有所帮助。