在掷20个8面骰子的游戏中，求至少5个骰子出现相同点数的概率。已知共有8^20种可能的掷骰结果。要计算特定事件发生的概率，需要将事件发生的次数除以8^20。例如，可以计算出5个骰子恰好出现3点的次数。可以使用排列组合C(20, 5)得到5个骰子恰好出现3点的排列数量，再将7^15作为其他15个骰子不出现3点的排列数量。于是，5个骰子恰好出现3点的排列数量为C(20, 5)*7^15。
问题1：如何计算恰好5个骰子出现相同点数的排列数量（对于所有骰子点数）？
如果天真地使用上述答案并乘以8，将会产生大量的重复计算。可以通过使用包含/排除原理来解决重复计算问题。
问题2：如何计算至少5个骰子出现相同点数的排列数量？ 为了计算至少5个骰子出现相同点数的排列数量，可以将上述包含/排除原理应用于5、6、7...20个骰子的情况。
- 解决方案 为了获得至少5个骰子出现相同点数的排列数量，可以使用包含/排除原理来计算。具体步骤如下：
- 首先计算5个骰子恰好出现相同点数的排列数量。
- 然后，计算5个骰子恰好出现相同点数且其他骰子不出现相同点数的排列数量。
- 接着，计算5个骰子恰好出现相同点数且其他骰子恰好出现相同点数的排列数量。
- 重复上述步骤，直到计算出20个骰子恰好出现相同点数的排列数量。
- 然后，将上述排列数量相加，即可得到至少5个骰子出现相同点数的排列数量。
使用递归方法可以计算出至少5个骰子出现相同点数的概率。在该方法中，将问题分解成更小的子问题，然后通过子问题的解来计算出问题的解。具体步骤如下：
- 首先，计算5个骰子恰好出现相同点数的概率。
- 然后，计算5个骰子恰好出现相同点数且其他骰子不出现相同点数的概率。
- 接着，计算5个骰子恰好出现相同点数且其他骰子恰好出现相同点数的概率。
- 重复上述步骤，直到计算出20个骰子恰好出现相同点数的概率。
- 然后，将上述概率相加，即可得到至少5个骰子出现相同点数的概率。
以下是使用Python编写的代码示例：
import numpy as np
def probability_at_least_5_same(rolls, sides):
"""Calculates the probability of getting at least 5 dice with the same value.
Args:
rolls: The number of rolls.
sides: The number of sides on each die.
Returns:
The probability of getting at least 5 dice with the same value.
"""
# Calculate the probability of getting exactly 5 dice with the same value.
prob_exactly_5_same = (
(np.math.factorial(rolls) /
(np.math.factorial(5) * np.math.factorial(rolls - 5))) *
(1 / sides)**5 * (1 - 1 / sides)**(rolls - 5))
# Calculate the probability of getting at least 5 dice with the same value.
prob_at_least_5_same = 1 - (1 - prob_exactly_5_same)**sides
return prob_at_least_5_same
if __name__ == "__main__":
# Set the number of rolls and sides.
rolls = 20
sides = 8
# Calculate the probability of getting at least 5 dice with the same value.
prob_at_least_5_same = probability_at_least_5_same(rolls, sides)
# Print the probability.
print(f"The probability of getting at least 5 dice with the same value is: {prob_at_least_5_same}")
