全连接神经网络

上一篇文章中我们介绍了自动微分的基本概念，现在可以介绍神经网络更通用的形式了。

一个 $L$ 层的带偏置项的全连接神经网络（也叫多层感知机），通过下面的迭代式定义：

\begin{align} & z_{i+1} = \sigma_i (W_i^T z_i + b_i), \ \ \ \ i = 1, \dots, L \\ & h_\theta(x) \equiv z_{L+1} \\ & z_1 \equiv x \end{align}

参数是 $\theta = \{ W_{1:L}, b_{1:L}\}$ ， $\sigma_i(x)$ 是一个非线性激活函数。

矩阵形式写法中广播的奥秘

我们思考一下上面式子中的矩阵形式

Z_{i+1} = \sigma_i (Z_i W_i + 1b_i^T)

细心的话可以注意到，由于 $Z_{i+1} \in \mathbb R^{m \times n}$ ，为了使矩阵维度相匹配的话，那么 $1b_i^T \in \mathbb R^{m \times n}$ ，但是实际上 $b_i^T \in \mathbb R ^{m \times n}$ 。

在实际操作中，我们可以通过广播（broadcast） 操作将 $b_i^T$ 的维度扩充。

对于一个 $n \times 1$ 的向量（或者更高维度的张量）,broadcast操作将它看作一个 $n \times p$ 的矩阵，将原来的向量重复p次
因此我们可以写成这种矩阵形式 $Z_{i+1} = \sigma_i (Z_i W_i + 1b_i^T)$
broadcast操作并不拷贝数据

全连接网络中关键问题

为了训练一个全连接神经网络（或者任何其它的深度神经网络），我们需要弄清楚如下几个特定的问题：

我们应该怎么选择网络的宽度和深度？
我们怎么优化我们的目标？（“SGD”是最简单的答案，但是这不是实践中最常用的方法）
我们怎么初始化网络的权重参数？
我们怎么可以确保网络在经历了多轮迭代优化后，还可以继续训练下去？

这些问题（仍然）没有明确的答案，对于深度学习来说，它们最终会针对特定问题，但我们将介绍一些基本原则。

优化器

梯度下降

我们考虑一个针对某一个函数 $f$ 的通用梯度下降参数更新策略，可以写成如下形式：

\theta _{t+1} = \theta_t - \alpha \nabla _\theta f(\theta _t)

其中 $\alpha > 0$ （学习率）, $\nabla _\theta f(\theta_t)$ 是 $f$ 对参数 $\theta_t$ 的梯度。

梯度下降方法在局部区域内是函数值下降最快的地方，但是从更大的时间跨度来看，其下降值可能在振荡。

梯度下降图解

对于 $\theta \in \mathbb R ^2$ ，考虑二次函数 $f(\theta) = \frac{1}{2} \theta^Tp\theta + q^T \theta$ ， $P$ 是正定的矩阵（所有特征值都是正数）

下面是采取不同学习率，不断迭代梯度下降的图示说明： Screenshot from 2024-06-04 21-18-51.png

牛顿法

一种能够把握更多全局信息的方法是”牛顿法“，通过黑塞矩阵（矩阵的二阶导）的逆来缩放梯度：

\theta_{t+1} = \theta_t - \alpha(\nabla_\theta^2 f(\theta_t))^{-1} \nabla_{\theta} f(\theta_t)

其中 $\nabla_\theta^2 f(\theta_t)$ 就是黑塞矩阵， $n \times n$ 的矩阵大小，矩阵元素是 $n$ 个参数的二阶导。

相当于使用二阶泰勒将函数近似为二次函数展开，然后求解最优解。

如果取 $\alpha = 1$ ，则是称为“整步牛顿法”否则称为“阻尼牛顿法”。

牛顿法图解

在这个问题中，如果取 $\alpha = 1$ ，那么只需要迭代一次就可以达到最优解。

但是这个方法在深度学习中没有太大的实际意义，主要有下面一些原因：

局部最优性：牛顿法通常只能找到局部最优解，而不是全局最优解。在非凸优化问题中，可能存在多个局部最优解，牛顿法可能会陷入这些局部最优解中的一个，而无法找到全局最优解。
Hessian矩阵的正定性：牛顿法要求目标函数在迭代点附近是二次可微的，并且其Hessian矩阵（即二阶导数矩阵）是正定的，这样才能保证当前迭代点是一个局部最小点。在非凸问题中，Hessian矩阵可能不是正定的，或者在某些区域是不定的，这使得牛顿法无法保证收敛到局部最小点。
计算复杂性：牛顿法需要计算和存储目标函数的Hessian矩阵，这在高维问题中可能导致计算复杂性和存储需求非常高。对于大规模的非凸优化问题，这种计算和存储成本可能是不可接受的。
数值稳定性：在非凸问题中，Hessian矩阵可能存在病态情况，导致牛顿法的迭代过程不稳定，甚至可能发散。
收敛速度：牛顿法的收敛速度依赖于初始点的选择和目标函数的性质。在非凸问题中，由于可能存在多个局部最小值，牛顿法的收敛速度可能会很慢，或者在某些情况下根本不收敛。

动量（momentum）

有没有一种折中的方案，使得可以像梯度下降方法一样计算简单，然后又能够像牛顿法那样能更具有全局性呢？

答案就是使用动量来更新参数，动量考虑了先前梯度的移动平均值：

\begin{align} & u_{t+1} = \beta u_t + (1 - \beta ) \nabla_\theta f(\theta _t) \\ & \theta_{t+1} = \theta_t - \alpha u_{t+1} \end{align}

其中 $\alpha$ 还是前面提到的学习率参数， $\beta$ 是动量的参数。

通常将动量写成这两种形式 $u_{t+1} = \beta u_t + \nabla_\theta f(\theta _t)$ 或者 $u_{t+1} = \beta u_t + \alpha \nabla_\theta f(\theta _t)$ ，但是用上面那种写法更能体现出 $u$ 是对梯度的放缩尺度的感觉

带动量的梯度下降法图解

从图中可以看到，带动量的梯度下降方法比单纯的梯度下降方法更平滑，但是还是存在振荡和函数值不下降的情况。

尽管如此，在实践中训练深度网络时经常有用。

无偏动量

动量 $u_t$ (如果初始化为零，这是常见的），在初始迭代中会比在后面的迭代中小。

为了消除这种“偏差”使得更新在所有迭代中具有相同的预期幅度，我们可以使用下面的方式：

\theta_{t+1} = \theta_t - \alpha u_{t+1} / (1- \beta ^{t+1})

无偏动量和上述带动量的优化对比图如下：

Nesterov 动量

Nesterov 动量概念中的一个有用技巧，可以计算“下一个”点的动量来进行参数更新：

\begin{array}{l} u_{t+1}=\beta u_{t}+(1-\beta) \nabla_{\theta} f\left(\theta_{t}\right) \\ \theta_{t+1}=\theta_{t}-\alpha u_{t+1} \end{array} \Longrightarrow \begin{array}{l} u_{t+1}=\beta u_{t}+(1-\beta) \nabla_{\theta} f\left(\theta_{t}-\alpha u_{t}\right) \\ \theta_{t+1}=\theta_{t}-\alpha u_{t+1} \end{array}

这种方式对凸优化来说是件 “好事”，对深度网络也有帮助。

Adam

对于不同的参数，梯度的大小可能会有很大的不同，尤其是在不同的深度网络层、不同的层类型等情况下。

深度网络的不同层、不同层类型等，所谓的自适应梯度方法试图在迭代过程中估计这一比例然后相应地重新调整梯度更新的规模

深度学习中最广泛使用的自适应梯度方法是Adam算法、它结合了动量和自适应规模估计

\begin{array}{l} u_{t+1}=\beta_{1} u_{t}+\left(1-\beta_{1}\right) \nabla_{\theta} f\left(\theta_{t}\right) \\ v_{t+1}=\beta_{2} v_{t}+\left(1-\beta_{2}\right)\left(\nabla_{\theta} f\left(\theta_{t}\right)\right)^{2} \\ \theta_{t+1}=\theta_{t}-\alpha u_{t+1} /\left(v_{t+1}^{1 / 2}+\epsilon\right) \end{array}

Adma是否是 “好 ”的优化器在深度学习领域争论不休，但它在实践中似乎经常运行得很好。

随机变量

前面的例子都考虑了参数的批量更新，但最重要的优化选择是使用随机变量。最重要的优化选择是使用随机变量。

回忆我们机器学习的优化问题：

\underset{\theta}{minimize} \frac{1}{m} \sum _{i=1}^m \ell (h_\theta (x^{(i)}),y^{(i)})

即对损失的经验期望最小化.

我们只需计算一个例子子集（称为minibatch）的损失梯度，就能得到梯度的噪声估计值（但无偏）。

随机梯度下降

这样，我们就又回到了 SGD 算法，重复进行批次 $B \subset \{ 1, \dots ,m\}$ 的运算。

\theta_{t+1} = \theta_t - \frac{\alpha}{B} \sum _{i \in B} \nabla_\theta \ell (h(x^{(i)}), y^{(i)})

与其采取几个昂贵、无噪音的步骤，我们不如采取许多便宜、又噪音的步骤，这样每台计算机的性能就会大大提高

最重要的收获

迄今为止，您所看到的所有优化方法实际上只是以随机形式使用。
从简单的（凸、二次）优化问题中，你能获得的关于这些优化方法的有效直觉是有限的。对这些优化方法的有效直觉是有限的。
您需要不断尝试，才能理解/直观地了解这些方法对不同类型深度网络的实际影响。

初始化

初始化权重

回忆我们使用随机梯度下降方法迭代优化参数的公式：

W_i :=W_i - \alpha \nabla_{W_i} \ell(h_\theta(X),y)

但是我们应该怎样选择什么样的值来初始化 $W_i$ ， $b_i$ 呢？（直接使用0来初始化？）

我们来看当时手动推导反向传播算法的前向传播和反向传播的过程（不带偏置项）：

\begin{array}{l} Z_{i+1} = \sigma _i (Z_iW_i) \\ G_i = (G_{i+1} \ \circ \ \sigma_i' (Z_iW_i))W_i^T \end{array}

如果 $W_i = 0$ ，那么 $G_j = 0$ ，对于 $j \leq i \Longrightarrow \nabla_{W_i} \ell(h_\theta(X),y) = 0$ ，因此取 $W_i=0$ ，会使得梯度消失从而更新不了参数。

不同初始化对训练的影响

我们简单的把权重随机初始化为一个正态分布 $W_i \sim N(0, \sigma^2 I)$

选择不同的方差 $\sigma ^2$ 将会影响下面两个部分：

前向激活函数输出 $Z_i$ 的范数
梯度的范数

下面是对方差取不同值使用MNIST数据集，隐藏层神经元100个，激活函数为relu总共50层的神经网络进行训练，对比上述两个范数的区别。

权重更新的并不大

你可能会认为，无论初始化如何，网络参数都会收敛到某个相似的点区域。
事实并非如此......权重往往更接近其初始化值，而不是经过优化后的 “最终”点。
最终结论：初始化对于神经网络训练很重要。

是什么导致了这种影响

考虑独立随机变量 $x \sim N(0,1)$ ， $w \sim N(0, \frac{1}{n})$ ，那么有

E[x_iw_i] = E[x_i]E[w_i] = 0, Var[x_iw_i] = Var[x_i]Var[w_i]= \frac{1}{n}

故 $E[w^Tx] = 0, Var[w^Tx]=1$ （ $w^Tx \rightarrow N(0,1)$ 有中心极限定理可得）

因此，如果我们使用一个线性激活函数并且有 $z_i \sim N(0, I), W_i \sim N(0, \frac{1}{n}I)$ ，那么有 $z_{i+1} = W_i^T \sim N(0, I)$

如果我们使用ReLU非线性激活函数，假设有 $z_i$ 一半的分量将会被置0,因此为了保证 $W_{i+1}$ 和 $W_i$ 有同样的方差，需要将 $W_i$ 方差乘2,也就是 $W_i \sim N(0, \frac{2}{n}I)$ (这也是kaiming normal initialization)

Deep Learning Systems: 全连接神经网络、优化器、初始化介绍