有潜在问题的错误方式使用Lerp

我们可能会在Update中写出如下代码：

private void Update(){
    a = Mathf.Lerp(a, b, Time.deltaTime);
}

同样的，第3个参数可能会填一个固定值比如.1f，这样确实可以得到类似缓动的效果，然而这样存在一个问题，每一次执行Update的间隔是不固定的，而且每一个用户的设备刷新帧率各不相同，因此在不同的设备上表现效果不一样，有的快有的慢，更一般的情况是快慢不均，即过渡效果不丝滑。

加速度均匀的移动

我们先从一个简单的例子开始思考如何实现平滑过渡效果

private float speed = 1;

private void Update(){
    velocity += speed;
}

以上代码执行效果是velocity以每一次1的速率增加，当用户帧率是24f/s时，1s后速度是24m/s；当用户帧率是120f/s时，1s后速度是120m/s。如何控制在不同的设备上，1s后达到相同的速度呢？

private float speed = 1; // 请注意，这里的单位是1m/s，这个数值与单位的定义非常重要！

private void Update(){
    velocity += speed * Time.deltaTime;
}

设初速度为0，当用户帧率是10f/s时，Time.deltaTime = .1f，1s内执行10次累加，末速度是1m/s；当用户帧率是120f/s时，Time.deltaTime = .008333f，1s内执行120次累加，末速度依然是1m/s。

为什么乘以Time.deltaTime后就能达到我们想要的效果呢？Time.deltaTime的单位可以看作是s/f（秒/帧），speed的单位是m/s，乘积的结果是m/f，我们把速度从和时间有关转为与帧率有关的数值。

深入研究Lerp

我们很容易知道a = Mathf.Lerp(a, b, Time.deltaTime)， $a$ 的变化不是简单线性变化的，因此这里第3个参数用Time.deltaTime或者固定值如.1f并不能抵消掉不同帧率的影响，所以我们的目标是为第3个参数找到一个合适的与Time.deltaTime有关的表达式来代替。

我们首先看看这样使用Lerp究竟是一种怎样的变化。

// F: Factor，插值系数，常量
a = Mathf.Lerp(a, b, F)
// 等价于
a = (1 - F) * a + F * b

由此，我们很容易得到第 $n+1$ 次与第 $n$ 次之间关系的表达式：

f(0) = a

f(n+1) = (1-F)*f(n)+F*b

这是一个递推公式，转换为执行次数 $n$ 的表达式（计算过程略）为：

f(n) = (a-b)(1-F)^{n} + b

已知执行次数 $n$ 转换为与时间 $t$ 有关的表达式，可以表述为：

n = t/Δt

代入上述式子可以得到关于时间 $t$ 的表达式：

f(t) = (a-b)(1-F)^{t/Δt} + b

变量 $t$ 在指数上，底数是常数，因此我们知道这是呈指数变化。我们考虑指数函数的一般形式：

f(t) = e^{at}

当 $a$ 确定时，指数函数就确定了，那么我们该如何确定 $a$ 应该是多少呢？换一种更简单直白的问法，即我们需要如何定义不同设备不同帧率下相同的变化呢，就像上述定义速度在1s后到达1m/s。

当然有无数的定义方法，这里选2种较简单的定义：

$r$ 是介于 $(0, 1)$ 的常数， $f(1)$ 时刻即1s后从 $a$ 变化到 $b$ 的剩余进度是 $r*100\%$
$f(t_{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}$ 意义是在 $t_{\frac{1}{2}}$ 时刻从 $a$ 变化到 $b$ 的进度是 $50\%$

我们先看第一种定义，我们可以得到如下式子：

\frac{f(1)-b}{a-b} = r

将 $f(1) = (a-b)(1-F)^{1/Δt} + b$ 代入上式并化简，可得：

F = 1 - r^{Δt}

将此 $F$ 的表达式带入 $f(t)$ 中，可得：

f(t) = (a-b)*r^{t} + b

我们把以 $r$ 为底的指数转为 $e$ 为底数的形式，得到：

F = 1-e^{Δt\ln{r}} \\ f(t) = (a-b)*e^{t\ln{r}} + b

这里转为以 $e$ 为底数的原因是后续我们要在代码里使用Mathf.Exp方法，而不是Mathf.Pow方法，因为指数计算代价昂贵，而有关自然数 $e$ 的相关计算是经过底层优化的，性能较好。

我们再看看第二种定义，我们可以得到如下式子：

\frac{f(t_{\frac{1}{2}})-b}{a-b} = \frac{1}{2}

将 $f(t_{\frac{1}{2}}) = (a-b)(1-F)^{t_{\frac{1}{2}}/Δt} + b$ 代入上式并化简，可得：

F = 1 - 2^{-\frac{Δt}{t_{\frac{1}{2}}}}

将此 $F$ 的表达式带入 $f(t)$ 中，可得：

f(t) = (a-b)*2^{-\frac{t}{t_{\frac{1}{2}}}} + b

公式总结

	Math.Lerp方法	等价表达式
原式	`a = Mathf.Lerp(a, b, F)`	$a = (1 - F) * a + F * b$
定义`r`是常量，意义是`1s`后变化的剩余进度是 $r * 100\%$	`a = Mathf.Lerp(a, b, 1 - Mathf.Pow(r, Δt))`	$a = (a-b)*r^{Δt} + b$
同上	`a = Mathf.Lerp(a, b, 1 - Mathf.Exp(Δt * Mathf.Log(r)))`	$a = (a-b)*e^{Δt\ln{r}} + b$
定义`t`是常量，意义是`t`秒后变化进度是 $50\%$	`a = Mathf.Lerp(a, b, 1 - Mathf.Pow(2, -Δt/t))`	$a = (a-b)*2^{\frac{-Δt}{t}} + b$

实践示例

private readonly float remainder = .2f; // 1s后，a的值距离b还有(.2f * 100)%
private float decay => Mathf.Log(remainder); // 衰变，物理学里的原子核衰变、半衰期等与自然数、指数函数关系密切

private void Update(){
    a = Mathf.Lerp(a, b, 1 - Mathf.Exp(Time.deltaTime * decay));
}

或者

private readonly float halfTime = .5f; // .5s后，a的值位于当前a与b一半的位置

private void Update(){
    a = Mathf.Lerp(a, b, 1 - Mathf.Pow(2, -Time.deltaTime / halfTime));
}

以正确的姿势在Unity中使用Lerp

有潜在问题的错误方式使用Lerp

加速度均匀的移动

深入研究Lerp

公式总结

实践示例