Two Divisors

前言

对这个题，我看题解，非常简单，但是不知道为什么。通过与老师讨论后解决疑惑，并给出了严谨的数学证明，在下面我逐一给出。

本题是CF Good Bye Problem - B - Codeforces

problem B

A certain number $1 \leq x \leq 10 ^ 9$ is chosen. You are given two integers $a$ and $b$, which are the two largest divisors of the number $x$. At the same time, the condition $1 \leq a < b < x$is satisfied.

For the given numbers $𝑎, b$, you need to find the value of $x$.

$††$ The number $y$ is a divisor of the number $x$ if there is an integer $k$ such that .

Input

Each test consists of several test cases. The first line contains a single integer t $(1\leq t \leq 10^4)$ — the number of test cases. Then follows the description of the test cases.

The only line of each test cases contains two integers a , b $(1 \leq a , b \leq 10 ^ 9)$.

It is guaranteed that $a, b$ are the two largest divisors for some number $1 \leq x \leq 10 ^ 9$.

Output

For each test case, output the number $x$, such that a𝑎 and b𝑏 are the two largest divisors of the number $x$.

If there are several answers, print any of them.

解法：

• 对于 $b \ mod \ a = 0$ 时
  • $b = a * p$ , 其中 $p$ 是x的最小质因数 , 所以 $x = b * p$
• 对于$b \ mod \ a \ != 0$ 时
  • $x = b * p , x = a * q$ , 其中p 最小的质因子 , q 是次最小的质因子 ， $x = b * p = b * \frac{a}{gcd(a , b)}$

接下来，我们将从两种情况分别证明：

• 首先来讨论第一种情况 $b$ (下文 mod 使用 % 代替)
  • 先来说明 , b = a * p , 其中 ，p 一定是质数。

    • 证明:
      考虑反证法：假设 a , b 满足 $1 \leq a < b < x$ , b 是 x 最大的因子 , b 是x次大的因子 , 且 $b \% a = 0$ , 那么 $b = a * p$ 一定满足 , 且 p 一定不是质数。
      如果结论成立 , p 一定是由至少两个质数的乘积组成的(唯一分解定理) , 那么我们还可以找到 , 比a大且比b小的因子 , 与前提矛盾，所以结论错误。

    • 结论： 假设 a , b 满足 $1 \leq a < b < x$ , b 是 x 最大的因子 , a 是x次大的因子 , 且$b \% a = 0$(即第一种情况), 那么 $b = a * p$ 一定满足 , 且 p 一定是质数。

  • 为什么p 一定是最小的质因数 ?

    • 先给出一个性质: 假设满足第一种情况 , 则 $x = {p_1}^{k_1} * {p_2} ^ {k_2} ····{p_k}^{l_k}$ , 总有$k_1 \geq 2$ 成立。

      • 证明：考虑反证法
        • 假设第一种情况成立 , 我们有$b = a * p$ , p 是质数 , 总有$k_1 < 2$。 按照假设的结论 ，将a , b 全部写出 , 即 , $b = {p_2} ^ {k_2} ····· {p_k}^{l_k} , a = {p_1}^{l_1} * {p_2} ^ {l_2 - 1}·····{p_k} ^ {l_k}$ , b将最小的质因子丢掉$p_1$ , a 将$p_2$丢掉一个次方。那么 $b \% a != 0$ , 与前提矛盾 ，假设不成立。

    • 结论: 假设满足第一种情况, 则 $x = {p_1}^{k_1} * {p_2} ^ {k_2} ····{p_k}^{l_k} , k_1 \geq 2$。

    • 通过这个结论我们知道，如果我们将 x 写成 ${p_1} ^ {l_1} * {p_2} ^ {l_2} ····{p_k} ^ {l_k}$ , $k \geq 2$ , 我们可以知道b 一定是去掉 一个 $p_1$ , a 去掉 ${p_1}^2$ , (这里的去掉 即 /)， 这样结论就很显然。

  • 结论：p 一定是最小的质因数.

我们上述结论的话 , 那么 $x = b * p = b * \frac{b}{a}$成立。

• 讨论第二种情况 $b \% a != 0$

  • 我们可以得到一些信息 , x 如果分解成 ${p_1} ^ {1} ···· {p_k}^{l_k} , l_1 = 1$ , b 一定是去掉了$p_1$ , a 是去掉了$p_2$ , 这样满足前提条件。

  • 证明：

    • 如果$1 \leq a < b < x$ , 但是 $b \% a != 0$ , b , a 又是最大、次大的因子。 $x = {p_1} ^ {l_1} ···· {p_k}^{l_k}$ , 那么我们必然是去掉 $p_1$ , 为什么 $l_1$ 一定是 1？ 因为如果大于等于 2 ， 那么一定 $b \% a = 0$ , 建议认真思考一下 ，也可以参考第一种情况。 如果要符合条件的话 ， b 只能拿掉 $p_1$ , a 只能拿掉 $p_2$ , 所以我们知道了 b , a 的表示。

  • $gcd(a , b) = {p_2}^{l_2 - 1}····{p_k}^{l_k}$ , 那么我们通过 $\frac{a}{gcd(a , b)}$ 就可以算出 $p_1$了 (读者可以将a，以及gcd(a , b)的表达形式写出来) 那么我们求出来最小质因子$p_1$ , 那么 我们可以求出 $x = b * \frac{a}{gcd(a , b)}$ (其中的$p_1$ 即是 p , q 即是$q_2$)。

• 证毕

总结

这份证明，我思考了很久，终于在某天搞懂了，特此来记下。写的有不足的地方，如果您有好的建议，欢迎您指出。

致谢

本文内容，受到湖南信息学院通识教育学院周斌彬老师指导与启发，特此感谢！