图形学初识--任意轴旋转矩阵（小白狂喜）

航火火
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前言

前章节主要讲解了二维空间和三维空间常用的空间变换矩阵，主要包括：缩放、平移、旋转。但是之前说的旋转都是绕着标准x、y、z轴旋转，本章节主要带大家认识一下绕过原点的任意轴旋转公式，也叫做罗德里德斯旋转公式（Rodrigues rotation formula）。

正文

前置知识

1、一个点的坐标本质

在一个三维空间中，我们常说的 P=(x′,y′,z′)P = (x',y',z') 究竟代表什么含义？请看下图：

在这里插入图片描述

我们大家都知道只要有三个线性无关的基向量，那么这三个向量的线性组合就可以张成这个三维空间，因为它可以表示这个三维空间中的任意位置。而我们最常见的基向量，就是正交基向量，他们两两垂直，如上图所示，三个基向量如下：

x^=(1,0,0)Ty^=(0,1,0)Tz^=(0,0,1)T\hat x = (1,0,0)^T\\ \hat y = (0,1,0)^T\\ \hat z = (0,0,1)^T\\

那么此时的P点的坐标，实际上表示对三个基向量的权重比例，最终表示为加权和，如下所示：

P⃗=x′x^+y′y^+z′z^\vec P = x' \hat x + y' \hat y + z' \hat z

上述公式也可以改写成矩阵和向量相乘的形式，如下：

P⃗=[100010001](x′y′z′)\vec P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z'\\ \end{pmatrix}

2、旋转的几何理解

假设现有一个任意的旋转矩阵 R=(r0⃗,r1⃗,r2⃗)R = (\vec{r_0},\vec{r_1},\vec{r_2}) ，有一任意点 P=(x,y,z)P = (x,y,z)， 假设P经过R变换后，得到 P′=(x′,y′,z′)P' = (x',y',z')

于是咱们根据矩阵乘法的列视图理解，可以得到如下的等式：

P′=(x′y′z′)=RP=xr0⃗+yr1⃗+zr2⃗P'= \begin{pmatrix} x'\\y'\\z'\\ \end{pmatrix} =RP = x\vec{r_0} + y\vec{r_1} + z\vec{r_2}

因此，根据前面点坐标本质的说明，咱们可以这样理解：

  • r0⃗、r1⃗、r2⃗\vec{r_0}、\vec{r_1}、\vec{r_2} 对应新坐标系下的三个基向量，按顺序对应新坐标系的x、y、z坐标轴
  • 在新坐标系下也有一个P点
  • P′P'点的本质含义：新的坐标系下的 PP点，在原坐标系下的坐标是什么？可以结合如下图理解： 在这里插入图片描述

3、旋转的几何理解-延申

如果已知一个旋转矩阵R，我们没法直接看出新坐标系下的三个基向量，他可能是一个复杂的表达形式，这时候我们又想要知道，那怎么办呢？

答：分别令其与三个正交基：(1,0,0)T,(0,1,0)T,(0,0,1)T(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T，相乘即，得到的三个列向量结果就是新坐标下的基向量！

公式结论

已知过原点的旋转轴u⃗=(ux,uy,uz)\vec u = (u_x,u_y,u_z)，则右手系下，绕其旋转 θ\theta​ 角度的旋转矩阵为：

Rθ=[ux2(1−cos⁡θ)+cos⁡θuxuy(1−cos⁡θ)−uzsin⁡θuxuz(1−cos⁡θ)+uysin⁡θuxuy(1−cos⁡θ)+uzsin⁡θuy2(1−cos⁡θ)+cos⁡θuyuz(1−cos⁡θ)−uxsin⁡θuxuz(1−cos⁡θ)−uysin⁡θuyuz(1−cos⁡θ)+uxsin⁡θuz2(1−cos⁡θ)+cos⁡θ]R_{\theta} = \begin{bmatrix} u_x^2(1 - \cos{\theta}) + \cos{\theta} & u_xu_y(1 - \cos{\theta}) - u_z\sin{\theta} & u_xu_z(1 - \cos{\theta}) + u_y\sin{\theta}\\ u_xu_y(1 - \cos{\theta}) + u_z\sin{\theta} & u_y^2(1 - \cos{\theta}) + \cos{\theta} & u_yu_z(1 - \cos{\theta}) - u_x\sin{\theta}\\ u_xu_z(1 - \cos{\theta}) - u_y\sin{\theta} & u_yu_z(1 - \cos{\theta}) + u_x\sin{\theta} & u_z^2(1 - \cos{\theta}) + \cos{\theta} \end{bmatrix}

注：这里我们并没有按照最简洁的向量表示，而是给出一个大矩阵，因为这个和后面的推导相吻合，有利于观察！

公式推导

1、问题描述： 已知过原点O的旋转轴为u⃗\vec{u}，v⃗\vec{v} 绕其旋转 θ\theta 角度，得到 v′⃗\vec{v'}，求 v′⃗\vec{v'}​ 的坐标表示

2、思路描述：

示意图如下：

在这里插入图片描述

前提： 保证 u⃗\vec{u} 已经归一化

步骤：

  1. 把 v⃗\vec{v} 分解为平行于 u⃗\vec{u} 的向量 v∥⃗\vec {v_\|} 及垂直于u⃗\vec u 的向量 v⊥⃗\vec {v_{\perp}}
  2. 计算 v⊥⃗\vec {v_{\perp}} 围绕 u⃗\vec{u} 旋转 θ\theta 角度后的向量 v⊥′⃗\vec {v'_{\perp}}​
  3. 将 v⊥′⃗\vec {v'_{\perp}} 和 v∥⃗\vec {v_\|} 相加，得到最后结果 v′⃗\vec{v'}​
  4. 求解矩阵形式，只需要利用上述的旋转矩阵的引申，令 v⃗\vec v 分别为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) 即可得到旋转矩阵的三个列向量！

3、分步推导：

(1)、计算 v⃗\vec v 在 u⃗\vec u 上的投影向量 v∥⃗\vec {v_\|}​

v∥⃗=(v⃗⋅u⃗)u⃗\vec {v_\|} = (\vec v \cdot \vec u)\vec u

(2)、计算向量v⊥⃗\vec {v_{\perp}}

v⊥⃗=v⃗−v∥⃗=v⃗−(v⃗⋅u⃗)u⃗\begin{align} \vec {v_{\perp}} &= \vec v - \vec {v_\|}\\ &= \vec v - (\vec v \cdot \vec u)\vec u \end{align}

(3)、从顶部观察截面，如下示意图：

在这里插入图片描述

构造向量 w⃗=u⃗×v⊥⃗\vec w = \vec u \times \vec {v_{\perp}}

由上图所示，咱们可以计算 v⊥′⃗\vec {v'_{\perp}}：

v⊥′⃗=cos⁡θv⊥⃗+sin⁡θw⃗=cos⁡θv⊥⃗+sin⁡θ(⃗u⃗×v⊥⃗)\begin{align} \vec {v'_{\perp}} &= \cos \theta \vec {v_{\perp}} + \sin \theta \vec w\\ &= \cos \theta \vec {v_{\perp}} + \sin \theta \vec (\vec u \times \vec {v_{\perp}}) \end{align}

(4)、结合1、2、3得出的公式，咱们可以得到：

v⊥′⃗=cos⁡θv⊥⃗+sin⁡θ(⃗u⃗×v⊥⃗)=cos⁡θ[v⃗−(v⃗⋅u⃗)u⃗]+sin⁡θ[u⃗×(v⃗−(v⃗⋅u⃗)u⃗)]=cos⁡θ[v⃗−(v⃗⋅u⃗)u⃗]+sin⁡θ(u⃗×v⃗)\begin{align} \vec {v'_{\perp}} &= \cos \theta \vec {v_{\perp}} + \sin \theta \vec (\vec u \times \vec {v_{\perp}})\\ &= \cos \theta[\vec v - (\vec v \cdot \vec u)\vec u] + \sin \theta[\vec u \times(\vec v - (\vec v \cdot \vec u)\vec u)]\\ &= \cos \theta[\vec v - (\vec v \cdot \vec u)\vec u] + \sin \theta (\vec u \times \vec v) \end{align}

(5)、咱们，咱们回归到最上面的思路的最后一步，将 v⊥′⃗\vec {v'_{\perp}} 和 v∥⃗\vec {v_\|} 相加，得到最后结果 v′⃗\vec{v'}

v′⃗=cos⁡θ[v⃗−(v⃗⋅u⃗)u⃗]+sin⁡θ(u⃗×v⃗)+(v⃗⋅u⃗)u⃗\vec{v'} = \cos \theta[\vec v - (\vec v \cdot \vec u)\vec u] + \sin \theta (\vec u \times \vec v) + (\vec v \cdot \vec u)\vec u

(6)、求解矩阵形式，咱们令 v⃗=(1,0,0)T\vec v = (1,0,0)^T ，计算v⃗′\vec v'，如下：

v⃗′=cos⁡θ([100]−([100]⋅[uxuyuz])[uxuyuz])+sin⁡θ([uxuyuz]×[100])+([100]⋅[uxuyuz])⋅[uxuyuz]=cos⁡θ([100]−[ux2uxuyuxuz])+sin⁡θ[0uz−uy]+[ux2uxuyuxuz]=[ux2(1−cos⁡θ)uxuy(1−cos⁡θ)+uzsin⁡θuxuz(1−cos⁡θ)−uysin⁡θ]\begin{align} \vec v' &= \cos{\theta} \begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} -\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{bmatrix} \end{pmatrix} \begin{bmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{bmatrix} \end{pmatrix} + \sin{\theta} \begin{pmatrix} \begin{bmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{bmatrix} \end{pmatrix} \cdot \begin{bmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{bmatrix}\\ &=\cos{\theta} \begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} u_x^2 \\ u_xu_y \\ u_xu_z \end{bmatrix} \end{pmatrix} +\sin{\theta} \begin{bmatrix} 0 \\ u_z \\ -u_y \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} u_x^2 \\ u_xu_y \\ u_xu_z \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} u_x^2(1-\cos{\theta}) \\ u_xu_y(1-\cos{\theta}) + u_z\sin{\theta} \\ u_xu_z(1-\cos{\theta}) - u_y\sin{\theta} \end{bmatrix} \end{align}

以此类推，咱们也可以分别得到第二列和第三列的基向量，将其拼起来得到最终旋转矩阵：

Ru,θ=[ux2(1−cos⁡θ)+cos⁡θuxuy(1−cos⁡θ)−uzsin⁡θuxuz(1−cos⁡θ)+uysin⁡θuxuy(1−cos⁡θ)+uzsin⁡θuy2(1−cos⁡θ)+cos⁡θuyuz(1−cos⁡θ)−uxsin⁡θuxuz(1−cos⁡θ)−uysin⁡θuyuz(1−cos⁡θ)+uxsin⁡θuz2(1−cos⁡θ)+cos⁡θ]R_{u,\theta} = \begin{bmatrix} u_x^2(1 - \cos{\theta}) + \cos{\theta} & u_xu_y(1 - \cos{\theta}) - u_z\sin{\theta} & u_xu_z(1 - \cos{\theta}) + u_y\sin{\theta}\\ u_xu_y(1 - \cos{\theta}) + u_z\sin{\theta} & u_y^2(1 - \cos{\theta}) + \cos{\theta} & u_yu_z(1 - \cos{\theta}) - u_x\sin{\theta}\\ u_xu_z(1 - \cos{\theta}) - u_y\sin{\theta} & u_yu_z(1 - \cos{\theta}) + u_x\sin{\theta} & u_z^2(1 - \cos{\theta}) + \cos{\theta} \end{bmatrix}

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希望对各位小伙伴能够有所帮助哦，永远在学习的道路上伴你而行， 我是航火火，火一般的男人！

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