洗牌算法

Fisher-Yates 洗牌算法 Java 实现

import java.util.Random;

public class FisherYatesShuffle {
    public static void shuffle(int[] array) {
        Random rand = new Random();
        for (int i = array.length - 1; i > 0; i--) {
            int j = rand.nextInt(i + 1); // 生成 [0, i] 范围内的随机数
            // 交换 array[i] 和 array[j]
            int temp = array[i];
            array[i] = array[j];
            array[j] = temp;
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] array = {1, 2, 3, 4, 5};
        shuffle(array);
        for (int num : array) {
            System.out.print(num + " ");
        }
    }
}

数学证明

Fisher-Yates 洗牌算法通过以下步骤证明其严谨性：

1. 第一步：

   • 选择一个随机索引 j 在 [0, n-1] 范围内，交换第 n-1 个元素和第 j 个元素。
   • 这一步有 n 种可能的选择，每个选择的概率为 1/n。

2. 第二步：

   • 选择一个随机索引 j 在 [0, n-2] 范围内，交换第 n-2 个元素和第 j 个元素。
   • 这一步有 n-1 种可能的选择，每个选择的概率为 1/(n-1)。

3. 继续执行：

   • 对于第 k 步，选择一个随机索引 j 在 [0, n-k] 范围内，交换第 n-k 个元素和第 j 个元素。
   • 这一步有 n-k+1 种可能的选择，每个选择的概率为 1/(n-k+1)。

4. 最后一步：

   • 选择一个随机索引 j 在 [0, 1] 范围内，交换第 1 个元素和第 j 个元素。
   • 这一步有 2 种可能的选择，每个选择的概率为 1/2。

通过组合所有这些步骤，每一个具体的排列 P 出现的概率为：

P(P) = 1/n * 1/(n-1) * 1/(n-2) * ... * 1/2 * 1/1 = 1/n!

由于每一种排列的出现概率都是 1/n!，这就证明了 Fisher-Yates 洗牌算法生成的每一个排列都是等概率的，从而确保了算法的严谨性。