图形学初识--矩阵和向量

航火火
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前言

前面发布的【图形学初识】系列文章，坐标基本上都指代屏幕空间的二维坐标，迟迟没有进入真正的3维世界。为了真正进入三维世界，就需要存在一种工具将三维坐标映射为二维坐标，这个工具就涉及到数学中的线性代数中的一些概念，如：矩阵、向量、行列式等等！本章节就针对这些概念和相关计算做说明！

正文

向量

什么是向量？

概念：向量的相对概念是标量，以下是两者的对比：

向量： 既有大小，又有方向；

标量： 只有大小，没有方向；

举个例子：

向量： 速度、加速度、力等

标量： 颜色、温度、质量等

基本表示： a⃗=AB⃗=B−A\vec{a} = \vec{AB} = B - A 。一个不太准确，但又十分形象的图形表示如下图：

在这里插入图片描述

a⃗\vec{a} 的大小：AB之间的距离

a⃗\vec{a} 的方向：A指向B的这个方向

三维空间下，假设A=(x0,y0,z0)，B=(x1,y1,z1)A = (x_0, y_0, z_0)，B = (x_1, y_1, z_1)，则 AB⃗=B−A=(x1−x0,y1−y0,z1−z0)\vec{AB} = B - A = (x_1 - x_0, y_1 - y_0, z_1 - z_0)​

本质上，上述的坐标表示法，其实是针对三维空间正交向量基的i、j、k的加权组合，但是因为目前还没有讲向量乘法、向量加法，所以没法解释，可以直观的认为就是这样做！

向量涉及哪些常见计算？

1、取模

假设A=(x0,y0,z0)，B=(x1,y1,z1),AB⃗=(x1−x0,y1−y0,z1−z0)A = (x_0,y_0,z_0)，B=(x_1,y_1,z_1), \vec{AB} = (x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)，记 ∥AB⃗∥\|\vec{AB}\| 是 AB⃗\vec{AB} 模，本质就是向量的长度

计算公式如下：

∥AB⃗∥=(x1−x0)2+(y1−y0)2+(z1−z0)2\|\vec{AB}\| = \sqrt{(x_1-x_0)^2 + (y_1-y_0)^2 + (z_1-z_0)^2}

2、归一化

假设A=(x0,y0,z0)，B=(x1,y1,z1),AB⃗=(x1−x0,y1−y0,z1−z0)A = (x_0,y_0,z_0)，B=(x_1,y_1,z_1), \vec{AB} = (x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)，记AB^\hat{AB} 是 AB⃗\vec{AB} 的归一化向量

归一化本质：计算一个方向不变，长度变为1的对应向量

计算公式如下：

AB^=AB⃗∥AB⃗∥\hat{AB} = \frac{\vec{AB}}{\|\vec{AB}\|}

3、向量加法

假设a⃗=(x0,y0,z0)，b⃗=(x1,y1,z1)\vec{a} = (x_0,y_0,z_0)，\vec{b} =(x_1,y_1,z_1) 那么 c⃗=a+b⃗=(x1+x0,y1+y0,z1+z0)\vec{c} = \vec{a + b} = (x_1+x_0,y_1+y_0,z_1+z_0)

代数解释：对应坐标相加

几何解释：

（1）两向量移动到统一起点，构成平行四边形，副对角线即为加和结果

在这里插入图片描述

（2）把b向量移动到a向量的末尾，从a起点连接b终点，得到的向量即为加和结果

在这里插入图片描述

4、向量减法

假设a⃗=(x0,y0,z0)，b⃗=(x1,y1,z1)\vec{a} = (x_0,y_0,z_0)，\vec{b} =(x_1,y_1,z_1) 那么 c⃗=b−a⃗=(x1−x0,y1−y0,z1−z0)\vec{c} = \vec{b - a} = (x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)

代数解释：对应坐标相减

几何解释：向量a的末端连接向量b末端的一个新向量

在这里插入图片描述

5、向量与标量乘

假设a⃗=(x0,y0,z0)\vec{a} = (x_0,y_0,z_0) 那么 c⃗=ka⃗=(kx0,ky0,kz0)\vec{c} = k\vec{a} = (kx_0,ky_0,kz_0)

代数解释：对应坐标乘标量k

几何解释：当 k !=0k\ !=0，向量等比例调整长度，k为缩放比例

在这里插入图片描述

6、向量点乘（内积）

假设a⃗=(x0,y0,z0)，b⃗=(x1,y1,z1)\vec{a} = (x_0,y_0,z_0)，\vec{b} =(x_1,y_1,z_1) 那么记点乘 c⃗=a⃗⋅b⃗=x1x0+y1y0+z1z0\vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_0 + y_1y_0+z_1z_0​​

注意：点乘的结果是一个标量

代数解释：对应坐标相乘然后相加

几何解释：a^⋅b^=∥a⃗∥∥b⃗∥cos⁡θ\hat a \cdot \hat b = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos \theta， 如下图所示

在这里插入图片描述

7、向量投影

假设a⃗=(x0,y0,z0)，b⃗=(x1,y1,z1)\vec{a} = (x_0,y_0,z_0)，\vec{b} =(x_1,y_1,z_1) 那么记a⃗\vec a在b⃗\vec b上的投影为 aprjb⃗\vec{a_{prjb}}​ ，计算公式如下：

在这里插入图片描述

aprjb⃗=b^∗∥a⊥⃗∥=b⃗∥b⃗∥∗cos⁡θ∗∥a⃗∥=b⃗∥b⃗∥∗a⃗⋅b⃗∥a⃗∥∥b⃗∥∗∥a⃗∥=a⃗⋅b⃗∥b⃗∥2b⃗\begin{align} \vec{a_{prjb}} &= \hat b * \|\vec{a_{\perp}}\|\\ &=\frac{\vec b}{\|\vec b\|} * \cos \theta * \|\vec a\|\\ &=\frac{\vec b}{\|\vec b\|} * \frac{\vec a \cdot \vec b}{\|\vec a\| \|\vec b\|} * \|\vec a\|\\ &=\frac{\vec a \cdot \vec b}{\|\vec b\|^2}\vec b \end{align}

假设被投影的向量为单位向量，则结果可以简化：aprjb⃗=(a⃗⋅b⃗) b⃗\vec{a_{prjb}} = (\vec a \cdot \vec b)\ \vec b

向量有哪些基本应用？

（1）判断两向量是否同向（重要）

在这里插入图片描述

利用向量点乘的结果判断，如果结果为负数，则不是同向，如果结果为正数，则同向。

（2）计算投影

​ 略（上述已给出计算公式）

（3）计算夹角

​ 略（也是利用点乘，计算cos⁡θ\cos \theta，从而计算出夹角）

矩阵

什么是矩阵？

矩阵本质就是一个二维数组，有行、有列，其中存储许多数字，每个数字叫做矩阵的元素。第i行、j列的记作aija_{ij}，当行和列相等时，我们叫做方阵！

如下图就是3x3的方阵,，我们常记作矩阵为 MM ：

[101230−130296123]\begin{bmatrix} 10 & 12 & 30 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 96 & 123\\ \end{bmatrix}

当方阵的只有主对角线元素为1，其余所有元素为0，我们记矩阵为单位矩阵，记InI_n，如下图：

[100010001]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}

矩阵涉及哪些常见计算？

1、矩阵加法

前提：两矩阵行列数相同

计算规则：对应元素相加

2、矩阵减法

前提：两矩阵行列数相同

计算规则：对应元素相减

3、矩阵乘法

前提：矩阵 AA 左乘矩阵 BB ，要求A的列数与B的行数相同

计算规则：假设矩阵 CC 的每个元素为 cijc_{ij} ,矩阵AA的每个元素为 aija_{ij} ,矩阵BB的每个元素为 bijb_{ij} ，如果C=ABC = AB

则CC的每个元素：

cij=(ai0ai1ai2...ain)⋅(b0jb1jb2j...bnj)c_{ij} = \begin{pmatrix} a_{i0}\\ a_{i1}\\ a_{i2}\\ ...\\ a_{in}\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{0j}\\ b_{1j}\\ b_{2j}\\ ...\\ b_{nj}\\ \end{pmatrix}

给个示例图：

在这里插入图片描述

几个常见的乘法性质：

(AB)C=A(BC)A(B+C)=AB+AC(A+B)C=AC+BC(AB)C = A(BC)\\ A(B+C) = AB + AC\\ (A+B)C = AC + BC

注意： 矩阵乘法没有交换律，一般来说： AB !=BAAB\ != BA

4、矩阵和向量乘法

我们可以将向量理解为列或者行为1的矩阵，这样问题就转化为矩阵的乘法类似，不多赘述！

如下图：

在这里插入图片描述

矩阵有哪些基本应用？

无所不能，在图形学领域最重要的概念就是MVP变换，本质上就是对应三个矩阵！这方面内容会在后面章节详细讲解哦！大家拭目以待！

结尾：喜欢的小伙伴可以点点关注+赞哦

希望对各位小伙伴能够有所帮助哦，永远在学习的道路上伴你而行， 我是航火火，火一般的男人！

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