[NOIP2003 提高组] 加分二叉树

题目描述

设一个 $n$ 个节点的二叉树 $\text{tree}$ 的中序遍历为$(1,2,3,\ldots,n)$，其中数字 $1,2,3,\ldots,n$ 为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第 $i$ 个节点的分数为 $d_i$，$\text{tree}$ 及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树 $\text{subtree}$（也包含 $\text{tree}$ 本身）的加分计算方法如下：

$\text{subtree}$ 的左子树的加分 $\times$ $\text{subtree}$ 的右子树的加分 $+$ $\text{subtree}$ 的根的分数。

若某个子树为空，规定其加分为 $1$，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为 $(1,2,3,\ldots,n)$ 且加分最高的二叉树 $\text{tree}$。要求输出

1. $\text{tree}$ 的最高加分。

2. $\text{tree}$ 的前序遍历。

输入格式

第 $1$ 行 $1$ 个整数 $n$，为节点个数。

第 $2$ 行 $n$ 个用空格隔开的整数，为每个节点的分数

输出格式

第 $1$ 行 $1$ 个整数，为最高加分（$Ans \le 4,000,000,000$）。

第 $2$ 行 $n$ 个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

样例 #1

样例输入 #1

5
5 7 1 2 10

样例输出 #1

145
3 1 2 4 5

提示

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $1 \leq n< 30$，节点的分数是小于 $100$ 的正整数，答案不超过 $4 \times 10^9$。

题目分析:

他的中序遍历 为 1 ，2 ， 3 ，4，... ,n

样例 可以看出 最大高分 3 1 2 4 5 可得出图

由题意知 L 到 R 的加分公式为 l * r + k;

则 我们 以 k 点为划分为根节点进行分析，枚举 k 可以划分的可能性,

状态表示 : f[l][r] 表示的是 中序遍历的 所有二叉树的最大得分

状态计算 : f[l][r] = f[l][k-1] * f[k+1][r] + w[k]; (k表示划分的根节点)

其实就是找到该区间内最小值为根节点

#include<iostream>
using i64 = long long;
const int N = 55;
int f[N][N], g[N][N]; //  f[N][N]表示我们的状态 ,g[N][N] 表示 存储前序遍历的划分的根节点
int n;		//节点的个数
int w[N];  //存储每个节点的分数


void dfs(int l , int r) {
    if (l > r)
        return;
    int root  = g[l][r]; //获取当前区间的划分的根节点
    std::cout << root << " ";
    dfs(l, root - 1); 
    dfs(root + 1, r);
}
void solve() {
    std::cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) std::cin >> w[i];

    for (int len = 1; len <= n; len++) { //区间的长度（二叉树的长度）
        for (int l = 1; len + l - 1 <= n; l++) { //区间的起点
            int r = len + l - 1;				 							
            if (len == 1) {     // 边界情况 只有一个节点，叶子节点，
                f[l][r] = w[l]; 
                g[l][r] = l;    // 划分的根节点，即就是叶子节点自己
            } else {
 
                for (int k = l; k <= r ; k++) {  //注意 k = l 而不是 l+1, k是可以为根节点的
                								 // 所以 k是可以为l 或 r的
                    int left = k == l ? 1 : f[l][k - 1]; //  左边的节点的分数

                    int right = k == r ? 1 : f[k + 1][r]; // 右边节点的分数

                    i64 score = left * right + w[k];// f[l][k-1] * f[k+1][r] + w[k];
                    							    // 也就是 这个根和下面节点的分数

                    if (score > f[l][r]) {
                        f[l][r] = score;
                        g[l][r] = k;  // 若分数大于f[l][r] 说明此时k点划分为根节点时，分数最大。
                    }
                }
            }
        }
    }
    std::cout << f[1][n] << '\n';
    dfs(1, n); //遍历路径
}
int main() {
    solve();
    return 0;
}