码题集OJ-距离平方和 (matiji.net)

推算

求两个点之间的距离公式为：

$dist=\sqrt{(x1-x2)^2-(y1-y2)^2}$

因为题目求的是距离的平方和，因此，我们可以不用要根号了，直接写为如下：

$dist^2=(x1-x2)^2-(y1-y2)^2$

然后我们就只看 $(x1-x2)^2$这半部分：

这半部分可以展开为： $x1+x2-2x1*x2$

这个公式又可以拆为：$x1+x2$ ， $-2x1*x2$ 两部分。

先看$x1+x2$这部分。因为有n个点，每个点都要求与其他点的距离。 因此这部分要$*(n-1)$

再看$2x1*x2$这部分，同样因为有n个点，因此可以表示为：

$2x1*x2 + 2x2 * xi +2x3*xi + ……2xn* xi$

然后我们把2和xi提取出来，变为如下： $2xi(x1+x2+x3+x4+x5+……+xn)$

我们发现 $x1+x2+x3+x4+……+xn$可以用前缀和去求。

code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int ans;
int sx,sy,n;
signed main()
{
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		int x,y;cin>>x>>y;
		
		ans+=(n-1)*(x*x+y*y)-((x*sx+y*sy)*2);
		sx+=x,sy+=y;
	}
	cout<<ans;
	
	return 0;
}