为什么需要插值算法？

不说大道理，承接上文直线光栅化。已知屏幕两个点，计算出以这两点为端点的直线经过的所有像素，准确的说是像素点的坐标；但是，像素是有颜色属性的，端点的颜色已知，但是中间点颜色是未知的，这时候为了给这些中间点补充颜色属性，就需要引入插值算法，在这个场景下就叫直线的线性插值！

插值算法是什么？

插值算法是一种通过已知数据点值来估计未知数据点值的方法。基本思想：基于已知数据点构建一个函数，该函数能够通过这些点，并估计这些点之间的值！

有哪些常见的插值算法呢？

1. 线性插值（Linear Interpolation）

线性插值是一种最简单的插值方法，它假设两个相邻点之间的函数变化是线性的。即，对于两个已知数据点 $(x_0,y_0),(x_1,y_1)$ ，插值点 $(x,y)$​ 可以通过以下公式计算：

线性插值简单且计算快速，但它只能在两个已知点之间产生线性估计，可能不适用于变化较复杂的数据。

2. 多项式插值（Polynomial Interpolation）

多项式插值使用一个多项式函数来通过所有已知数据点。拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）和牛顿插值（Newton Interpolation）是两种常见的多项式插值方法。对于 𝑛+1个数据点，可以找到一个 𝑛 次多项式通过这些点：

多项式插值可以提供更精确的估计，但当点数较多时，高次多项式可能出现震荡现象（龙格现象）。

3. 样条插值（Spline Interpolation）

样条插值使用低次多项式段（通常是三次样条）连接所有数据点，同时确保在每个数据点处多项式的连续性和光滑性。三次样条插值常用于曲线拟合和图形处理。

4. 最近邻插值（Nearest-Neighbor Interpolation）

最近邻插值使用距离目标点最近的已知点的值作为估计值。这种方法简单且计算快速，但可能会导致不连续和不平滑的结果。

5. 双线性插值（Bilinear Interpolation）

双线性插值用于二维数据网格，它在每个方向上进行线性插值。对于四个相邻点，插值点的值通过对两个方向的线性插值计算得出。它常用于图像处理中的像素值插值。

6. 双三次插值（Bicubic Interpolation）

双三次插值使用三次多项式进行插值，比双线性插值能产生更平滑的结果。它通常用于高质量图像缩放。

7. 克里金插值（Kriging Interpolation）

克里金插值是一种地统计学方法，基于已知点的统计性质进行插值。它考虑了空间自相关性，常用于地理信息系统（GIS）和环境科学。

直线如何线性插值？

问题描述：已知直线起始端点 $p_0 = (x_0, y_0)$ ， $p_1 = (x_1, y_1)$，$f(p_0) = v_0$ ，$f(p_1) = v_1$，求直线上任意一点 $p=(x,y)$，$f(p) = ?$

1、暴力法

算法步骤描述：

• 计算 $p_0$ 到 $p_1$ 的距离，记为 $d$

• 计算 $p$ 到 $p_0$ 和 $p_1$ 的距离，分别记为 $d_0$ 和 $d_1$

• 计算权值$weight = d_0 / d$

• 计算 $p$点的属性值 $f(p) = weight * f(p_1) + (1 - weight) * f(p_0)$

如图所示：

2、优化法

本质思路：计算点和点的距离是比较耗时的，咱们可以用初中数学知识，相似三角形从而简化问题的计算，提高性能！

算法步骤描述：

• 计算 $d_x = x_1 - x_0$ 和 $d_y = y_1 - y_0$ ，咱们假设 $d_x != 0$ 其实y方向也是类似同理

• 计算 $d_p = x - x_0$

• 计算权值 $weight = d_p / d_x$

• 计算 $p$点的属性值 $f(p) = weight * f(p_1) + (1 - weight) * f(p_0)$

如图所示：

效果展示：

咱们用一个从红色到绿色的直线，上效果图：

结尾：喜欢的小伙伴可以点点关注+赞哦

希望对各位小伙伴能够有所帮助哦，永远在学习的道路上伴你而行， 我是航火火，火一般的男人！