图形学初识--光栅化直线算法

航火火
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什么叫做光栅化？

光栅化（Rasterization）是一种计算机图形学技术，用于将几何图形（如矢量图形、3D模型）转换成由像素或点组成的光栅图像（raster image）。这个过程通常在图形硬件（如显卡）上进行，用于生成最终在屏幕上显示的图像。

上面来自chatGPT，对于有图形学基础的人还是很好理解。

我这里单纯用绘制2D图形的两个案例，用大白话简易解释一下：

（1）给屏幕坐标系中的两个点坐标，如何绘制出以这两个点为首尾的直线？这就是直线光栅化的作用；

（2）给屏幕坐标系中三个点，如何绘制以这三个点为顶点的填充三角形？这就是三角形光栅化的作用；

再次声明，以此类推，这些说辞都是方便理解用的，并不专业！

为什么需要光栅化？

计算机图形通常以矢量形式存储和处理，包括点、线、三角形等基本几何形状。

然而，显示设备（如计算机屏幕、手机屏幕）是基于像素的。这意味着最终显示图像需要将矢量图形转换为像素阵列，光栅化正是这个转换过程。

直线的光栅化算法有哪些？

  • 数值微分法（DDA）
  • Bresenham
  • Wu

使用场景比较：

  • DDA算法：适合简单的直线绘制，计算过程容易理解，但由于使用浮点数，效率较低
  • Bresenham算法：效率高，使用整数运算，适用于大多数应用场景，尤其是实时图形渲染
  • Wu算法：用于生成平滑的抗锯齿直线，适合需要高质量图像的应用

咱们重点讲述Bresemham算法！也是最常用的！

Bresemham算法

问题定义：

已知两个点 p1(x1,y1),p2(x2,y2)p1(x_1,y_1),p2(x_2,y_2) 请在屏幕像素空间绘制一条直线。

问题模型简化：

最简单的问题模型满足如下条件：

  • x1<x2x_1 < x_2
  • y1<y2y_1 < y_2
  • 直线表达式： y=kx+b y = kx + b​
  • 直线斜率 kk 满足：0<k<10 < k < 1

概念图如下：

在这里插入图片描述

算法核心理解：

顶级理解： 假设当前直线已经通过点 (xi,yi)(x_i,y_i) ，那么当 xi−>xi+1x_i -> x_i + 1 ，此时的 yiy_i 如何变动呢？如下图所示：

在这里插入图片描述

其实 yiy_i 的变动只有两个选择，要么 yi−>yiy_i -> y_i 保持不变，要么 yiy_i -> yi+1y_{i + 1} 向上增加一个像素。

这两种情况说人话：一个向正东移动、一个向东北方移动！

问题来了： 那么何时朝正东移动，何时朝东北移动，依据什么呢？如下图所示：

在这里插入图片描述

感官上来看： 依据直线是朝下倾斜一点，还是朝上倾斜一点。

数学表达来看： 根据上图的 d0d_0 和 d1d_1 谁更大（d0d_0 更大，表明向下倾斜，反之向上）

让我们开始步入数学公式的殿堂：

d0=yi+1−k(xi+1)−bd1=k(xi+1)+b−yi\begin{aligned} d_0 &= y_i + 1 - k(x_i + 1) - b\\ d_1 &= k(x_i + 1) + b - y_i \end{aligned}

既然要比较 d0d_0 和 d1d_1 的大小，咱们就用d1d_1 - d0d_0​ ：

d1−d0=k(xi+1)+b−yi−[yi+1−k(xi+1)−b]=2k(xi+1)−2yi−1+2b\begin{aligned} d_1 - d_0 &= k(x_i + 1) + b - y_i - [ y_i + 1 - k(x_i + 1) - b ]\\ &= 2k(x_i + 1) - 2y_i - 1 + 2b \end{aligned}

由于模型简化，根据已知条件：

k=y2−y1x2−x1Δx=x2−x1>0\begin{aligned} k &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\ \Delta x &= x_2 - x_1 > 0 \end{aligned}

所以，等式两边同乘 Δx\Delta x ，表达式正负号不会发生变化，记 pi=Δx(d1−d0)p_i = \Delta x(d_1 - d_0)

pi=Δx(d1−d0)=Δx∗[2k(xi+1)−2yi−1+2b]=Δx∗[2∗y2−y1x2−x1∗(xi+1)−2yi−1+2b]=Δx∗[2∗ΔyΔx∗(xi+1)−2yi−1+2b]=2Δy∗(xi+1)+Δx(−2yi−1+2b)=2Δy∗(xi+1)−Δx(2yi+1−2b)=2Δy∗xi−2Δxyi+[2Δy+(2b−1)Δx]\begin{aligned} p_i &= \Delta x(d_1 - d_0)\\ &= \Delta x * [2k(x_i + 1) - 2y_i - 1 + 2b]\\ &= \Delta x * [2* \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} * (x_i + 1) - 2y_i - 1 + 2b]\\ &= \Delta x * [2* \frac{\Delta y}{\Delta x} * (x_i + 1) - 2y_i - 1 + 2b]\\ &= 2\Delta y*(x_i + 1) + \Delta x(-2y_i - 1 + 2b)\\ &= 2\Delta y*(x_i + 1) - \Delta x(2y_i + 1 - 2b)\\ &= 2\Delta y*x_i - 2\Delta xy_i + [2\Delta y + (2b-1)\Delta x] \end{aligned}

推导到这，咱们观察一下：Δy\Delta y已知、Δx\Delta x已知，所以 pip_i 的值就取决于 xix_i、yiy_i、b的值

因为咱们发现出现了b，b很有可能是浮点数，是不满足咱们这个算法的要求的，于是伟大的思路，要求我们尝试构造递推关系式，来进行对b消去！

迭代模型：

pi=2Δyxi−2Δxyi+[2Δy+(2b−1)Δx]pi+1=2Δy(xi+1)−2Δxyi+1+[2Δy+(2b−1)Δx]pi+1−pi=2Δy−2Δx(yi+1−yi)\begin{aligned} p_i &= 2\Delta yx_i - 2\Delta xy_i + [2\Delta y + (2b-1)\Delta x]\\ p_{i+1} &= 2\Delta y(x_i+1) - 2\Delta xy_{i+1} + [2\Delta y + (2b-1)\Delta x]\\ p_{i+1} - p_i &= 2\Delta y - 2\Delta x(y_{i+1} - y_i) \end{aligned}

惊奇的发现，b被消去了，大功告成，这是我们发现：计算 pi+1p_{i+1} 的值，只和 pip_i 以及 yi+1y_{i+1} 和 yiy_i 有关系！

所以咱们需要单独计算 p1p_1，咱们就用这个公式： pi=2Δyxi−2Δxyi+[2Δy+(2b−1)Δx]p_i = 2\Delta yx_i - 2\Delta xy_i + [2\Delta y + (2b-1)\Delta x]

令 ii = 1，带入(x1,kx1+b)(x_1, kx_1 + b)

咱们得到：

p1=2Δyxi−2Δxyi+[2Δy+(2b−1)Δx]=2Δyx1−2Δx(kx1+b)+[2Δy+(2b−1)Δx]=2Δyx1−2Δx(ΔyΔxx1+b)+[2Δy+(2b−1)Δx]=2Δyx1−2Δyx1−2bΔx+2Δy+2bΔx−Δx)=2Δy−Δx\begin{aligned} p_1 &= 2\Delta yx_i - 2\Delta xy_i + [2\Delta y + (2b-1)\Delta x]\\ &=2\Delta yx_1 - 2\Delta x(kx_1+b) + [2\Delta y + (2b-1)\Delta x]\\ &=2\Delta yx_1 - 2\Delta x(\frac{\Delta y}{\Delta x}x_1+b) + [2\Delta y + (2b-1)\Delta x]\\ &=2\Delta yx_1 - 2\Delta yx_1-2b\Delta x + 2\Delta y + 2b\Delta x-\Delta x)\\ &=2\Delta y - \Delta x \end{aligned}

重申目标：

我们需要通过 pip_i 的正负值，从而决定 d1d_1 和 d0d_0 谁大谁小，从而决定他是往东北方向移动，还是往正东方向移动。

数学表达如下：

yi+1={yi,pi<=0即d1<d0yi+1,pi>0即d1>d0y_{i+1}=\begin{cases} y_i, & p_i<=0 即d_1 < d_0 \\ y_i + 1, & p_i>0 即d_1 > d_0 \end{cases}

所以我们发现：yi+1y_{i+1} 其实是由 pip_i 决定的。咱们已知 p1p_1 自然可以求出 y2y_2，又根据递推关系式：

pi+1−pi=2Δy−2Δx(yi+1−yi)p_{i+1} - p_i = 2\Delta y - 2\Delta x(y_{i+1} - y_i)

自然而然可以迭代计算，求出：p2p_2、y3y_3、p3p_3、y4y_4、...pkp_k、yk+1y_{k+1}，直到所有！

算法拓展：

前面咱们由于为了推导公式，所以简化了模型，假设了以下条件：

  • x1<x2x_1 < x_2
  • y1<y2y_1 < y_2
  • 直线表达式： y=kx+b y = kx + b​
  • 直线斜率 kk 满足：0<k<10 < k < 1

但是实际在一个二维平面上，一条直线有八种情况：

  • x1<x2x_1 < x_2 且 y1<y2y_1 < y_2 且 0<k>10< k > 1

  • x1<x2x_1 < x_2 且 y1<y2y_1 < y_2 且 k>1k > 1

  • x1>x2x_1 > x_2 且 y1<y2y_1 < y_2 且 0<k>10< k > 1

  • x1>x2x_1 > x_2 且 y1<y2y_1 < y_2 且 k>1k > 1

  • x1<x2x_1 < x_2 且 y1>y2y_1 > y_2 且 0<k>10< k > 1

  • x1<x2x_1 < x_2 且 y1>y2y_1 > y_2 且 k>1k > 1

  • x1>x2x_1 > x_2 且 y1>y2y_1 > y_2 且 0<k>10< k > 1

  • x1>x2x_1 > x_2 且 y1>y2y_1 > y_2 且 k>1k > 1

如下图，这八种情况，其实就对应八个方位：

在这里插入图片描述

计算的情形其实也类似，只需要将目标点转换到咱们简化模型状态，然后最后结果再转换回去就可以！

比如：x符号取反、y符号取反、xy互换等等，就不多赘述了！

结尾：喜欢的小伙伴可以点点关注+赞哦

希望对各位小伙伴能够有所帮助哦， 我是航火火，火一般的男人！

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