共享投入型关联两阶段生产系统的网络DEA效率测度与分解复现

今天推出的是一个关于2011年陈凯华和官建成的《共享投入型关联两阶段生产系统的网络DEA效率测度与分解》这篇

文献中建立的DEA模型结果的复现。

该文提出的考虑中间产出的共享投入的两阶段网络DEA模型，在规模报酬不变时，其规划式如下：

$\begin{aligned}&E_k=\max\sum_{p=1}^qW_p^1Z_{pk}+\sum_{r=1}^sU_rY_{rk}\\&\mathrm{s.t.}\begin{cases}\sum_{i=1}^m\pi_i^1X_{ik}+\sum_{i=1}^mV_i^2X_{ik}-\sum_{i=1}^m\pi_i^2X_{ik}+\sum_{p=1}^qW_p^2Z_{pk}=1\\\sum_{i=1}^m\pi_i^1X_{ij}-\sum_{p=1}^qW_p^1Z_{pj}\geq0,j=1,2,\cdots,n\\\sum_{i=1}^mV_i^2X_{ij}-\sum_{i=1}^m\pi_i^2X_{ij}+\sum_{p=1}^qW_p^2Z_{pj}-\sum_{r=1}^sU_rY_{rj}\geq0,j=1,2,\cdots,n\\\pi_i^2\geq V_i^2\geq\varepsilon;\pi_i^1,W_p^1,W_p^2,U_r\geq\varepsilon,i=1,2,\cdots,m&\end{cases}\end{aligned}$

上述线性规划描述了以投入为导向的 DMU_k 整体技术效率测度模型.借助规划可获得决策变量$\alpha_i(\alpha_i=\pi_i^2/V_i^2)$、$V_i^1(V_i^1=\pi_i^1/\alpha_i)$、$V_i^2$、$W_p^1$、和$U_r$ 的最优解组合后，可进一步通过下述公式计算内部第一个子过程和第二个生产过程的技术效率值.

$E_k^1=\frac{\sum\limits_{p=1}^qw_p^1Z_{pk}}{\sum\limits_{i=1}^mv_i^1\alpha_iX_{ik}}=\frac{\sum\limits_{p=1}^qW_p^1Z_{pk}}{\sum\limits_{i=1}^mV_i^1\alpha_iX_{ik}}$

$E_k^2=\frac{\sum_{r=1}^su_rY_{rk}}{\sum_{i=1}^mv_i^2(1-\alpha_i)X_{ik}+\sum_{p=1}^qw_p^2Z_{pk}}=\frac{\sum_{r=1}^sU_rY_{rk}}{\sum_{i=1}^mV_i^2(1-\alpha_i)X_{ik}+\sum_{p=1}^qW_p^2Z_{pk}}$

当规模报酬可变时，其规划时及第一、第二阶段效率值如下：

$\begin{aligned}\bar{E}_{k}= & \max \sum_{p=1}^{q} W_{p}^{1} Z_{p k}+\sum_{r=1}^{s} U_{r} Y_{r k}-\mu_{k}^{A}-\mu_{k}^{B} \\\text { s.t. } & \left\{\begin{array}{l}\sum_{i=1}^{m} \pi_{i}^{1} X_{i k}+\sum_{i=1}^{m} V_{i}^{2} X_{i k}-\sum_{i=1}^{m} \pi_{i}^{2} X_{i k}+\sum_{p=1}^{q} W_{p}^{2} Z_{p k}=1 \\\sum_{i=1}^{m} \pi_{i}^{1} X_{i j}-\left(\sum_{p=1}^{q} W_{p}^{1} Z_{p j}-\mu_{k}^{A}\right) \geq 0, j=1,2, \cdots, n \\\sum_{i=1}^{m} V_{i}^{2} X_{i j}-\sum_{i=1}^{m} \pi_{i}^{2} X_{i j}+\sum_{p=1}^{q} W_{p}^{2} Z_{p j}-\left(\sum_{r=1}^{s} U_{r} Y_{r j}-\mu_{k}^{B}\right) \geq 0, j=1,2, \cdots, n \\V i_{i}^{2} \geq p_{i}^{2} \geq \varepsilon ; \pi_{i}^{1}, W_{p}^{1}, W_{p}^{2}, U_{r} \geq \varepsilon, i=1,2, \cdots, m\end{array}\right.\end{aligned}$

上述规划描述了以投入为导向的 DMU$_k$ 整体纯技术效率测度模型，当决策变量 $\alpha_i(\alpha_i=\pi_i^2/V_i^2)、\overline{V_i^1(V_i^1)}$ $=\pi_i^1/\alpha_i)、V_i^2、W_p^1、W_p^2、U_r、\mu_k^A$ 和 $\mu_k^B$ 的借助规划 获得最优解组合后，可通过下述公式 计算被测评的生产系统 DMU$_k$ 内部第一和 第二生产过程的纯技术效率值.

$\bar{E}_k^1=\frac{\sum_{p=1}^qw_p^1Z_{pk}-\mu_k^1}{\sum_{i=1}^mv_i^1\alpha_iX_{ik}}=\frac{\sum_{p=1}^qW_p^1Z_{pk}-\mu_k^A}{\sum_{i=1}^mV_i^1\alpha_iX_{ik}}$

$\bar{E}_k^2=\frac{\sum_{r=1}^su_rY_{rk}-\mu_k^2}{\sum_{i=1}^mv_i^2(1-\alpha_i)X_{ik}+\sum_{p=1}^qw_p^2Z_{pk}}=\frac{\sum_{r=1}^sU_rY_{rk}-\mu_k^B}{\sum_{i=1}^mV_i^2(1-\alpha_i)X_{ik}+\sum_{p=1}^qW_p^2Z_{pk}}$

关于模型的更多细节，可以参考论文。为了方便计算，我们实现了该模型，CRS和VRS下程序和论文的结果对比：

值的一提的是，作者给出的CRS结果中，DMU10的结果和DMU9的结果相同，这里应该是处理结果时出了问题，根据原始数据，和DMU10数据相近的是DMU11，在VRS的结果中也正是如此，DMU10和DMU11的结果非常接近。

如果需要该模型，请联系微信canglang12002