前缀和的应用

前言

作者本以为前缀和非常简单，但是近来遇到了很多题。发现存在非常多的应用，写这篇博客用于作者本人归纳应用以及供读者学习和总结。

区间和的静态询问

对于前缀和数组 ，这个应用就非常的常见且普遍。主要是用于优化区间和的静态询问。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>


#define LL long long
#define PII std::pair<int , int>


int main(){

    std::ios::sync_with_stdio(0);
    std::cout.tie(0);
    std::cin.tie(0);

    int n;
    std::vector<LL> A(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        std::cin >> A[i];

    for (int i = 1;  i <= n; i ++ ){
        A[i] = A[i] + A[i - 1];

        std::cout << A[i] << '\n';
    }

    return 0;
}

例题：
求区间和 - 洛谷
求和 - 洛谷

区间子段中 0 出现的次数

对于这个应用是非常的经典的，主要目的就是求连续的子段中0出现了多少次 主要是思想就是利用前缀和的值的变化 ，即对前$i$个元素求和， 如果出现 $sum_l == sum_r 且 l < r$ , 那么 区间$[l + 1 , r]$ 为 0。

注意： 整段数组为0的情况 , 这个情况需要注意一下。

下面给出$O(nlogn)$ 做法

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>

const int N = 510 , INF = 0x3f3f3f3f;

#define LL long long
#define PII std::pair<int , int>


void solved(){

    int n;
    std::cin >> n;
    std::vector<LL> A(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        std::cin >> A[i];

    std::map<LL , bool> mp;
    mp[0] = 1;                                              // 注意整个序列为 0 的情况
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
        A[i] = A[i] + A[i - 1];
        if (mp[A[i]]){
            std::cout << "Yes" << '\n';
            return ;
        }else
            mp[A[i]] = 1;
    }

    std::cout << "No" << '\n';
}



int main(){

    std::ios::sync_with_stdio(0);
    std::cout.tie(0);
    std::cin.tie(0);
    
    int tc = 1;
    std::cin >> tc;
    while (tc --)
        solved();
    
    return 0;
}

这是map 红黑树的做法 ，利用树形结构来做到$O(logn)$的查询 ， 明显我们不需要修改，只需要插入和查询。我们在之前可能学习过一个数据结构，主要支持查询和插入 。哈希表 , 通过hash到一个位置插入 ， 如果有冲突可能是使用拉链法或者是开放寻址法。我们可以直接使用$STL$自带的$std::unordered\_map<LL , bool>$

对于unordered_map 不熟悉的点这里

下面给出$O(n)$做法：

注意： 使用优化的hash算法

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <chrono>
#include <unordered_map>

const int N = 510 , INF = 0x3f3f3f3f;

#define LL long long
#define PII std::pair<int , int>

struct custom_hash {
    static LL splitmix64(LL x) {
        x ^= x << 13;
        x ^= x >> 7;
        x ^= x << 17;
        return x; 
    }
    size_t operator () (LL x) const {
        static const LL FIXED_RANDOM = std::chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count(); // 时间戳
        return splitmix64(x + FIXED_RANDOM);
    }
};



void solved(){

    int n;
    std::cin >> n;
    std::vector<LL> A(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
        std::cin >> A[i];
        A[i] *= (i & 1) ? 1 : -1;
    }

    std::unordered_map<LL , bool , custom_hash> mp;
    mp[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
        A[i] = A[i] + A[i - 1];
        if (mp[A[i]]){
            std::cout << "Yes" << '\n';
            return ;
        }else
            mp[A[i]] = 1;
    }

    std::cout << "No" << '\n';
}



int main(){

    std::ios::sync_with_stdio(0);
    std::cout.tie(0);
    std::cin.tie(0);
    
    int tc = 1;
    std::cin >> tc;
    while (tc --)
        solved();
    
    return 0;
}

题目：Problem - E - Codeforces

求连续子段中x出现的次数

对于这个问题，我们可以直接转化成连续子段中0出现次数，或者在这个基础上改进一下即可。

mp[A[i] + x]  // 是否出现过

最大子段和

这种应用是结合动态规划的思想完成的应用，用于求最大子段和。

核心思想就是如果当前的子段和小于0, 那么必然不能对后面的子段产生正增益， 所以需要抛弃。 我们只需要在这些子段中求出一个最大值即可。
为什么要在众多子段和中取最大，而不是最后一个子段的和就是最大的呢？
因为做到后面就一定要选后面的，如果不选后面的，肯定都没有做完，肯定是不能确定最大子段和的。 最大子段和可能最大子段和在前面，也可能在后面。

例如:

1 2 3 -4 -5

参考代码:

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>

const int N = 510 , INF = 2e9 + 10;

#define LL long long
#define PII std::pair<int , int>


void solved(){

    int n;
    std::cin >> n;
    std::vector<int> A(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        std::cin >> A[i];

    LL max_sum = -INF , cur_sum = 0;            // max_sum 一定取的足够小
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
        cur_sum += A[i];
        max_sum = std::max (max_sum , cur_sum);

        if (cur_sum < 0)
            cur_sum = 0;
    }

    std::cout << max_sum << '\n';
}

int main(){

    std::ios::sync_with_stdio(0);
    std::cout.tie(0);
    std::cin.tie(0);
    
    int tc = 1;
    // std::cin >> tc;
    while (tc --)
        solved();
    
    return 0;
}

题目：
最大子段和
Problem - A - Codeforces

环形最大子段和

考虑破环为链即可 ，将序列展成两倍长度，做一遍即可。 对于破环为链不熟悉的，请自查一下。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>

const int N = 510 , INF = 2e9 + 10;

#define LL long long
#define PII std::pair<int , int>


void solved(){

    int n;
    std::cin >> n;
    std::vector<int> A(n);
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        std::cin >> A[i];

    A.insert(A.end() , A.begin() , A.end());

    LL max_sum = -INF , cur_sum = 0;            // max_sum 一定取的足够小
    for (int i = 0; i < int(A.size()); i ++ ){
        cur_sum += A[i];
        max_sum = std::max (max_sum , cur_sum);

        if (cur_sum < 0)
            cur_sum = 0;
    }

    std::cout << max_sum << '\n';
}

int main(){

    std::ios::sync_with_stdio(0);
    std::cout.tie(0);
    std::cin.tie(0);
    
    int tc = 1;
    // std::cin >> tc;
    while (tc --)
        solved();
    
    return 0;
}