题目描述

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思路解析

由题可知，数据范围在1和10^18之间，而在C++中，长整型也最多只能表示一个19位的数，而10^18刚好就是19位，如果两个19位的数直接相乘，结果肯定是要溢出的，因为C++里面没有基本类型可以表示一个十进制位数为38位的数，所以要求a*b%p，我们可以用一种类似于快速幂的方法，将乘法转换为加法，来解决溢出问题，基本步骤如下：

将b转换为二进制形式。
从右到左遍历二进制数的每一位。
如果某位为1，则将a加上2a。
如果某位为0，则仅将a乘以2。
每次迭代后，b右移一位（相当于除以2）。
重复步骤2至5，直到b变为0

例如：求3*31的值：则a=3，b=31，我们将b转换为二进制，故b=011111=2^4+2^3+2^2+2^1+2^0=31

我们令：

a1=3*1=3*(2^0)=3

a2=3*2=3*(2^1)=3*(2^0+2^0)=a1+a1

a3=3*4=3*(2^2)=3*(2^1+2^1)=a2+a2

a4=3*8=3*(2^3)=3*(2^2+2^2)=a3+a3

a5=3*16=3*(2^4)=3*(2^3+2^3)=a4+a4

而31=1+2+4+8+16

故3*31
=a1+a2+a3+a4+a5
=3*1+3*2+3*4+3*8+3*16
=3*(1+2+4+8+16)
=3*31

因此，通过将b用二进制来表示，将乘法转换为加法，进行分步运算，我们就可以避免因位数过大导致的溢出问题，因此要计算a*b%p的值，可以由如下方法实现：

代码实现

#include<iostream>
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;// 无符号长整形

int main()
{
	// 求 a乘 b对 p取模的值。
	ULL a, b, p;
	cin >> a >> b >> p;
	ULL res = 0;// 最终要输出的结果
	while (b)
	{
          // 从b的二进制位的第一位开始，如果为1，则加a
          // 注：除第一次循环外，后续循环加上的a都是上一次循环中a的值的两倍
		if (b & 1)res = (res + a) % p;
          // 将a乘2
		a = a * 2 % p;
          // 将b的二进制位向右移动一位，当b=0则跳出循环
		b >>= 1;
	}
        
    // 输出结果
	cout << res << endl;

	return 0;
}

运行结果：

这道题的介绍到这里就结束了，如果你觉得本篇文章对你多少有些帮助，可以点个赞或者收藏一波支持一下哦，欢迎各位大佬批评指正，咱们下一道题再见！

64位整数乘法

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