乘法逆元（除法取模可用）

例题

leetcode.cn/problems/co…

分析：

不难看出答案等于每个word的异构字符串个数的乘积，问题变成了如何求word的异构字符串个数

令word的长度为n，10^9 + 7为p

那么 $ans = \frac{n!}{\prod_{i=a}^z{cnt[i]!}} \mod p$

乘法取模都会，但是如何对除法取模？这里需要用到 乘法逆元 的知识

乘法逆元

定义：如果一个线性同余方程$ax \equiv 1 \pmod{p}$，则 $x$ 为 $a\mod\ p$ 的逆元

快速幂解法：

因为 $ax \equiv 1 \pmod{p}$

由费马小定理：$ax \equiv a^{p-1} \pmod{p}$

所以：$x \equiv a^{p-2} \pmod{p}$

所以：$ans = {n!} * {\prod_{i=a}^z{cnt[i]!}} ^ {p - 2} \mod p$

费马小定理

定义：若p为素数，$gcd(a, p) = 1$，则$a ^ {p - 1} \equiv 1 \pmod{p}$

另一种形式 $a^p \equiv a \pmod{p}$

证明：

数学归纳法

显然 $1^p\equiv 1\pmod p$，假设 $a^p\equiv a\pmod p$ 成立，那么通过二项式定理有

$(a+1)^p=a^p+\binom{p}{1}a^{p-1}+\binom{p}{2}a^{p-2}+\cdots +\binom{p}{p-1}a+1$

因为 $\binom{p}{k}=\frac{p(p-1)\cdots (p-k+1)}{k!}$ $1\leq k\leq p-1$ 成立

在模 $p$ 意义下 $\binom{p}{1}\equiv \binom{p}{2}\equiv \cdots \equiv \binom{p}{p-1}\equiv 0\pmod p$

那么$(a+1)^p \equiv a^p +1\pmod p$

将 $a^p\equiv a\pmod p$ 带入得 $(a+1)^p\equiv a+1\pmod p$ 得证

代码

class Solution {

    int mod = (int) 1e9 + 7;

    public int countAnagrams(String s) {
        String[] arr = s.split(" ");
        int n = arr.length;
        long res = 1;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            res = res * func(arr[i]) % mod;
        }
        return (int) res;
    }

    public long func(String s) {
        int n = s.length();
        long mul = 1;
        long a = 1;
        int[] cnt = new int[26];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            char c = s.charAt(i);
            int j = c - 'a';
            cnt[j]++;
            mul = mul * (i + 1) % mod;
            a = a * cnt[j] % mod;
        }
        return mul * quickPow(a, mod - 2) % mod;
    }

    public long quickPow(long x, long y) {
        if (y == 0) return 1;
        long res = 1;
        if (y % 2 == 0) {
            res = quickPow(x * x % mod, y / 2);
        } else {
            res = res * x % mod;
            res = res * quickPow(x, y - 1) % mod;
        }
        return res;
    }

}