1. 假设我们有一些数据$x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R}$。我们的目标是找到一个常数$b$，使得最小化$\sum_i (x_i - b)^2$。

1. 找到最优值$b$的解析解。
2. 这个问题及其解与正态分布有什么关系?

1. 找到最优值 $b$ 的解析解

要找到一个常数 $b$ 使得 $\sum_{i=1}^{n} (x_i - b)^2$ 最小化，我们实际上是在求解这些数据的均值。这个问题可以通过求导并令导数为零来解决。

均值 $\mu$ 是所有数据点 $x_i$ 的加权平均，权重相同（这里是1），可以表示为：

$\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$

要求 $b$ 使得 $\sum_{i=1}^{n} (x_i - b)^2$ 最小化，我们可以将上述求和式重写为：

$\sum_{i=1}^{n} (x_i - b)^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2b \sum_{i=1}^{n} x_i + nb^2$

为了找到 $b$ 的值，我们对上述表达式关于 $b$ 求导，并令导数为零：

$\frac{\partial}{\partial b} \left( \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2b \sum_{i=1}^{n} x_i + nb^2 \right) = 0$

计算导数得到：

$-2 \sum_{i=1}^{n} x_i + 2nb = 0$

解这个方程得到最优的 $b$ 值：

$b = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$

2. 问题及其解与正态分布的关系

最优解就是均值