1. 进行 $m=500$ 组实验，每组抽取 $n=10$ 个样本。改变 $m$ 和 $n$，观察和分析实验结果。

采样原则：少量多次

2. 给定两个概率为$P(\mathcal{A})$和$P(\mathcal{B})$的事件，计算$P(\mathcal{A} \cup \mathcal{B})$和$P(\mathcal{A} \cap \mathcal{B})$的上限和下限。（提示：使用友元图来展示这些情况。)

在概率论中，事件 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 的并集 $P(\mathcal{A} \cup \mathcal{B})$ 和交集 $P(\mathcal{A} \cap \mathcal{B})$ 的计算可以通过友元图（Venn diagram）来直观表示。友元图是一种展示集合之间关系的图形表示方法，特别适用于表示事件的并集和交集。

对于给定的概率 $P(\mathcal{A})$ 和 $P(\mathcal{B})$，以下是计算 $P(\mathcal{A} \cup \mathcal{B})$ 和 $P(\mathcal{A} \cap \mathcal{B})$ 的一些基本规则：

1. 并集的概率 $P(\mathcal{A} \cup \mathcal{B})$ 的计算可以通过以下公式进行： $P(\mathcal{A} \cup \mathcal{B}) = P(\mathcal{A}) + P(\mathcal{B}) - P(\mathcal{A} \cap \mathcal{B})$

2. 交集的概率 $P(\mathcal{A} \cap \mathcal{B})$ 直接是两个事件同时发生的概率。

为了找到 $P(\mathcal{A} \cup \mathcal{B})$ 和 $P(\mathcal{A} \cap \mathcal{B})$ 的上限和下限，我们需要考虑事件 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 之间的依赖关系：

• 如果 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 是互斥的（即它们不能同时发生），那么 $P(\mathcal{A} \cap \mathcal{B}) = 0$，并且 $P(\mathcal{A} \cup \mathcal{B})$ 的值就是 $P(\mathcal{A}) + P(\mathcal{B})$。这是 $P(\mathcal{A} \cup \mathcal{B})$ 的最大值。

• 如果 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 是独立的，那么 $P(\mathcal{A} \cap \mathcal{B}) = P(\mathcal{A}) \cdot P(\mathcal{B})$。在这种情况下，$P(\mathcal{A} \cup \mathcal{B})$ 的值会小于 $P(\mathcal{A}) + P(\mathcal{B})$，因为需要从总和中减去交集的概率。

• 如果 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 既不独立也不互斥，那么 $P(\mathcal{A} \cap \mathcal{B})$ 的值会介于 0 和 $P(\mathcal{A}) \cdot P(\mathcal{B})$ 之间。此时，$P(\mathcal{A} \cup \mathcal{B})$ 的值会介于 $P(\mathcal{A}) + P(\mathcal{B}) - P(\mathcal{A}) \cdot P(\mathcal{B})$ 和 $P(\mathcal{A}) + P(\mathcal{B})$ 之间。

3. 假设我们有一系列随机变量，例如$A$、$B$和$C$，其中$B$只依赖于$A$，而$C$只依赖于$B$，能简化联合概率$P(A, B, C)$吗？（提示：这是一个马尔可夫链。)

根据马尔可夫性质，联合概率 $P(A, B, C)$ 可以表示为：

$P(A, B, C) = P(A) \cdot P(B | A) \cdot P(C | B)$

这里：

• $P(A)$ 是随机变量 $A$ 的边缘概率。
• $P(B | A)$ 是在给定 $A$ 的条件下 $B$ 的条件概率。
• $P(C | B)$ 是在给定 $B$ 的条件下 $C$ 的条件概率。

这个简化的表达式利用了链式概率法则，它将联合概率分解为一系列条件概率的乘积，每个条件概率只依赖于它的直接前驱。这种分解大大简化了计算，因为每个条件概率通常比原始的联合概率更容易估计或计算。

在实际应用中，如果我们知道 $A$、$B$ 和 $C$ 的概率分布，以及它们之间的转移概率，我们就可以直接计算出联合概率 $P(A, B, C)$。

4. 在艾滋病病毒（HIV）检测中，第一个检测更准确。为什么不运行第一个检测两次，而是同时运行第一个和第二个检测?

在贝叶斯统计的框架下，可以将先前检测的结果作为新的证据来更新对患病概率的估计。如果第一次检测的结果是阳性，那么根据贝叶斯定理，可以计算出在考虑第一次检测结果的情况下，第二次检测为阳性的条件概率。这种方法可以结合不同检测的优势，提高疾病预测的准确性。