1. 基础知识
1.1 上界和下界
1.2 整除符号
1.3 质数和互质
1.4 欧几里得定理
gcd(m, n) = gcd(m-n,n)
gcd(m,n)·lcm(m,n)=|m|·|n|
1.5 商、求余、同余表达式
2. 集合、formal languages
set：
- 集合不考虑顺序：{a, b}等价于{b, a}, {a, a}等价于{a};
- 空集{}, {{}} 不是空集
formal languages：字符串集合
2.1 集合差和对称差
A ⊕ A = ∅
A ⊕ B = (A\B)∪(B\A)
2.2 幂集
Pow(X)， X中的全部元素排列组合，空集
- X = {1, 2, 3} => Pow(X) = {∅, {1, 2, 3}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} |Pow(X)|=2^|X|， 幂集的个数
- X = {1, 2, 3} => |X|=3 => |Pow(X)|=2^3=8
2.3 笛卡尔积
- AXB != BXA （特殊情况：A=B，或者B=∅）
- 结果为元祖集合
2.4 formal language 字符串
- Σ^k => 包含长度为k的元素
- E = {1,2} => E^2={11,12,21,22,1,2}
- E = {1,2} => E^2={11,12,21,22,1,2}
3. 集合运算性质
对偶：A = B∩C => dual(A)=B∪C
- 如果两个运算表达式相等，那么他们的对偶也相等
4. Relations and functions
4.1 intro:
函数和关系都是为了使得两个领域的元素有交集
函数：domain（定义域）， codomain（作用域），image（值域）
4.2 反关系和反函数
反关系：R和R^<-的关系是将原本的(x,y)变成了(y,x) => 元素对调了位置
反函数：f和f^-1是将原函数的定义域变为反函数的作用域，将原函数的作用域变成反函数的定义域；fog(先算的写在后面）
- R3: R1;R2 => R1:SxT,R2:TxU => R3: SxU
4.3 关系中的函数性质
- 普通函数：定义域中的元素，在作用域中的仅有一个元素与之对应【可以多对一、一对一】
- S中的s1对应T中的t1
- S中的s2对应T中的t1
- S中的s3对应T中的t2
- 单射函数：一对一
- 满射函数：作用域等于值域
- 双射函数；同时满足单射和满射
- 性质：可传递：如果f1是bijective，f2是bijective，那么f1;f2也是bijective；可对称：f1是bijective，那么f1^<-也是bijective
- 性质：可传递：如果f1是bijective，f2是bijective，那么f1;f2也是bijective；可对称：f1是bijective，那么f1^<-也是bijective
4.4 二元关系R的一些基本性质：
5. Equivalence and partial order
5.1 等价关系（Equivalence relation）：满足R、S、T
5.2 等价类
- 逻辑等价：真值表一致
5.3 Partial Order
- 偏序关系：体现元素的优先关系，同一水平线优先级是一样的
比如：1可以被其他所有元素整除，因此放在最下面。哈斯图只关注就近的偏序关系。
- 证明是否符合偏序关系
5.4 maximal,minimal, maximum, minimum极大值极小值最大最小元素
maximal,minimal, maximum, minimum代表的是在哈斯图中的优先级
maximum, minimum是唯一的
5.5 Lub和Glb 最小上界，最大下界
5.6 Topological sort 拓扑排序
6. Function operation
6.1 function iteration
6.2 反函数inverse function
6.3 矩阵 Matrixs
6.4 时间复杂度
练习题
1. 关系中的函数性质
2. 时间复杂度
3. 证明整除（iff）
4. 集合的关系，笛卡尔积
5. 时间复杂度排序
6. partial order
7. 计算bigO
常见结果大小排序：常数<对数<普通幂函数<指数函数<阶乘
8. formal language
9. 二元关系R的基本性质计算
可以用分级函数来取反例：
7. Graph
7.1 顶点度数之和等于边个数的二倍
1. 有向图
7.2 Degree Sequence
7.3 Tree
- Acyclic graph：无环图，K2
- Tree Depth： 计算最长的一条线有多长
7.4 Complete Graph完全图：所有的点之间都有边
7.5 Isomorphic同构图
7.6 BFS,DFS图的搜索
7.7 Edge Traversal 欧拉环
- Euler path：穿过所有边（Edge)一次【连接！】
- Euler circuit：闭合的欧拉路径【连接！】，每个点的degree都必须是偶数
7.8 Vertex Traversal: Hamiltonian
- Hamiltonian path: 每个点只经过一次【连接！】
- Hamiltonian cycle: 起点终点一样【连接！】
7.9 Coloring
7.10 Cliques
- 完全图的着色数等于完全图的顶点数
- 偶数为2， 奇数为3
7.11 planar graph 平面图
- 最小非平面图，K5,K(3,3)
- k(5,5,5): 每个点的度数是另外两个点相加，第一个点度数5+5=10
- k(5,5)：每个点的度数等于另个点的个数
- 如果一个图包含K5,K(3,3)那就不是平面图
7.12 Subdivision 细分
- 在原有的边上插入一个点，degree永远都是2
- 不会将Cliques number变大
8.Recursion 递归
8.1 Master theorem
9. Induction
9.1 证明过程
9.2 递归时间复杂度及例题
9.3 logic rules
9.4 CNF,DNF
- CNF是几个括号相乘
- DNF是几个括号相加
9.5 Karnaugh maps
9.6 Boolean Algebras
9.7 Duality对偶
10. Propositional Logic 命题逻辑
- ->: ('if...then..')：左真右假，为假
- A->B => ¬A∪B
- <->: ('..if and only if')：同真同假，为真
- A <-> B => (A->B)&&(B->A)=(1+A+B)%2 同真（A+B=2），同假（A+B=0）
- ⊕：一真一假，为真
10.1 一些特性
10.2 逻辑等价
10.3 well-formed formulas(Wff)
10.4 Parse Trees
10.5 Entail |=
11. Combinatorics 排列组合
11.1 Union Rule
11.2 Product
11.3 combination 不考虑顺序
从n个东西里面，挑出r个
11.4 r-permutations 考虑顺序
11.5 插空法 向k个盒子放n个球
12 Probability
12.1 Independence P(A∩B)=P(A)·P(B)
- P(A|B)=P(A) =》 P(A|B)=P(A∩B)\P(B):在B发生的概率上A发生的概率
12.2 Binomial Distribution二项分布
12.3 Recursive Probability递归可能性
12.4 Conditional Probability
13. Statistics 期望
13.1 Expected value：期望值（mean）
1. binomial identity 二项恒等式
- E(Sn)=nE(S1)=n·1/2
2. 伯努利实验：可以进行很多次，且成功失败概率是固定的
- 首次成功时的实验 n 次的概率：E（x）=1/p -- 几何分布
- n次实验中的成功 S 次的概率：E（x）=n·P -- 二项分布
13.2 Standard Deviation and Variance 标准差和方差
练习题
1. subdivision, clique, chromatic
2. graph, edges, vertices
3. graph theory, propositional logic, wff
4. combinatorial function, recursive, bigO
5. Probability
6. Probability
7. Eulerian, Hamiltonian
8. recursive prove, induction
9. 代码的时间复杂度
10. Propositional logic
11.Probability
12. Probability
13. bijective, injective, surjective
