1. 绘制函数$y = f(x) = x^3 - \frac{1}{x}$和其在$x = 1$处切线的图像。

x = np.arange(0, 3, 0.1)

def g(x):
    return x ** 3 - 1 / x

plot(x, [g(x), 4 * x - 4], 'x', 'g(x)', legend=['g(x)', 'Tangent line (x=1)'])

2. 求函数$f(\mathbf{x}) = 3x_1^2 + 5e^{x_2}$的梯度。

$\nabla f(x) = [6x_1, 5e^{x_2}]$

3. 函数$f(\mathbf{x}) = \|\mathbf{x}\|_2$的梯度是什么？

函数 $f(\mathbf{x}) = \|\mathbf{x}\|_2$ 表示的是向量 $\mathbf{x}$ 的 $L_2$ 范数，也就是向量的欧几里得距离或者长度，数学上定义为：

$f(\mathbf{x}) = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$

其中，$\mathbf{x} = [x_1, x_2, \dots, x_n]^\top$ 是一个 $n$ 维实数向量。

为了找到这个函数的梯度，我们需要对每个分量 $x_i$ 求偏导数。由于这是一个标量函数对向量 $\mathbf{x}$ 的求导，我们得到的梯度是一个向量，其每个分量是函数对向量中每个元素的偏导数。

对 $f(\mathbf{x})$ 关于 $x_i$ 的偏导数是：

$\frac{\partial}{\partial x_i} f(\mathbf{x}) = \frac{\partial}{\partial x_i} \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$

利用链式法则，我们得到：

$\frac{\partial}{\partial x_i} f(\mathbf{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}} \cdot 2x_i = \frac{x_i}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}}$

因此，函数 $f(\mathbf{x}) = \|\mathbf{x}\|_2$ 的梯度 $\nabla f(\mathbf{x})$ 是：

$\nabla f(\mathbf{x}) = \left[ \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right] = \left[ \frac{x_1}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}}, \frac{x_2}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}}, \dots, \frac{x_n}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}} \right]$

或者更简洁地表示为：

$\nabla f(\mathbf{x}) = \frac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|_2}$

注意，如果 $\mathbf{x}$ 是零向量，那么 $\|\mathbf{x}\|_2 = 0$，梯度未定义，因为分母为零。在实际应用中，通常需要避免对零向量求此梯度，或者在优化算法中特别处理这种情况。

4. 尝试写出函数$u = f(x, y, z)$，其中$x = x(a, b)$，$y = y(a, b)$，$z = z(a, b)$的链式法则。

给定函数 $u = f(x, y, z)$，其中 $x = x(a, b)$，$y = y(a, b)$，$z = z(a, b)$，我们想要找到 $u$ 关于变量 $a$ 和 $b$ 的偏导数。这可以通过链式法则来完成，链式法则是求复合函数导数的一种方法。

首先，我们分别求 $u$ 关于中间变量 $x$，$y$，$z$ 的偏导数：

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x}$ $\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial y}$ $\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial z}$

接下来，我们使用链式法则求 $u$ 关于 $a$ 和 $b$ 的偏导数。链式法则表明，一个函数关于另一个函数的导数，等于该函数的导数乘以另一个函数的导数。

对 $a$ 的偏导数：

$\frac{\partial u}{\partial a} = \frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial a} + \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial a} + \frac{\partial u}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial a}$

同理，对 $b$ 的偏导数：

$\frac{\partial u}{\partial b} = \frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial b} + \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial b} + \frac{\partial u}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial b}$

因此，$u$ 关于 $a$ 和 $b$ 的偏导数通过链式法则可以表示为：

$\frac{\partial u}{\partial a} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial a} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial a} + \frac{\partial f}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial a}$

$\frac{\partial u}{\partial b} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial b} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial b} + \frac{\partial f}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial b}$

这些表达式说明了如何通过链式法则求得 $u$ 关于原始变量 $a$ 和 $b$ 的偏导数，其中包含了对中间变量 $x$，$y$，$z$ 的偏导数以及这些中间变量自身对 $a$ 和 $b$ 的偏导数。