1. 证明一个矩阵 $\mathbf{A}$ 的转置的转置是 $\mathbf{A}$，即 $(\mathbf{A}^\top)^\top = \mathbf{A}$。

1. 矩阵转置的定义：

设 $A$ 是 $m×n$ 矩阵，则其转置 $A^\top$ 是 $n×m$ 矩阵，且元素满足：

$(A^\top)_{ij}​=A_{ji}$

其中，$(i,j)$ 表示矩阵的行索引和列索引。

2. 矩阵转置的转置公式推导：

根据矩阵转置的定义，我们可以得到：

$((A^\top)^\top)_{ij} = (A^\top)_{ji}$

进一步展开，得到：

$((A^\top)^\top)_{ij} = A_{ij}$

2. 给出两个矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$，证明 “它们转置的和” 等于 “它们和的转置”，即 $\mathbf{A}^\top + \mathbf{B}^\top = (\mathbf{A} + \mathbf{B})^\top$。

1. 矩阵转置的定义：

设 $A$ 是 $m×n$ 矩阵，则其转置 $A^\top$ 是 $n×m$ 矩阵，且元素满足：

$(A^\top)_{ij} = A_{ji}$

其中，$(i,j)$ 表示矩阵的行索引和列索引。

2. 矩阵转置的和等于它们的和的转置公式推导：

根据矩阵转置的定义，我们可以得到：

3. 给定任意方阵 $\mathbf{A}$，$\mathbf{A} + \mathbf{A}^\top$ 总是对称的吗?为什么?

得 $(A + A^\top)_{ij} = (A + A^\top)_{ji}$

即 $A + A^\top$ 对称

4. 本节中定义了形状 $(2,3,4)$ 的张量 X。len(X) 的输出结果是什么？

5. 对于任意形状的张量 X, len(X) 是否总是对应于 X 特定轴的长度?这个轴是什么?

6. 运行 A/A.sum(axis=1)，看看会发生什么。请分析一下原因？

7. 考虑一个具有形状 $(2,3,4)$ 的张量，在轴 0、1、2 上的求和输出是什么形状?

8. 为 linalg.norm 函数提供 3 个或更多轴的张量，并观察其输出。对于任意形状的张量这个函数计算得到什么?

dash_line = '=' * 20

# 本节中定义了形状的张量 X。len(X) 的输出结果是什么？
# 对于任意形状的张量X, len(X) 是否总是对应于X特定轴的长度?这个轴是什么?
X = torch.ones(24).reshape(2, 3, 4)
display(X, len(X))

# 运行 A/A.sum(axis=1)，看看会发生什么。请分析一下原因？
A = torch.arange(20).reshape(5, 4)
# A_sum = A.sum(axis=1)
A_sum = A.sum(axis=1, keepdim=True)
print(dash_line)
display(A, A_sum, A_sum.shape, A_sum.T.shape)
display(A / A_sum)

# 考虑一个具有形状的张量，在轴 0、1、2 上的求和输出是什么形状?
print(dash_line)
display(X.shape, X.sum(axis=0).shape, X.sum(axis=1).shape, X.sum(axis=2).shape)

# 为 linalg.norm 函数提供 3 个或更多轴的张量，并观察其输出。对于任意形状的张量这个函数计算得到什么?
print(dash_line)
display(torch.linalg.norm(X), X.pow(2).sum().sqrt())

tensor([[[1., 1., 1., 1.],
         [1., 1., 1., 1.],
         [1., 1., 1., 1.]],

        [[1., 1., 1., 1.],
         [1., 1., 1., 1.],
         [1., 1., 1., 1.]]])
         
2

====================

tensor([[ 0,  1,  2,  3],
        [ 4,  5,  6,  7],
        [ 8,  9, 10, 11],
        [12, 13, 14, 15],
        [16, 17, 18, 19]])
        
tensor([[ 6],
        [22],
        [38],
        [54],
        [70]])
        
torch.Size([5, 1])

torch.Size([1, 5])

tensor([[0.0000, 0.1667, 0.3333, 0.5000],
        [0.1818, 0.2273, 0.2727, 0.3182],
        [0.2105, 0.2368, 0.2632, 0.2895],
        [0.2222, 0.2407, 0.2593, 0.2778],
        [0.2286, 0.2429, 0.2571, 0.2714]])
        
====================

torch.Size([2, 3, 4])

torch.Size([3, 4])

torch.Size([2, 4])

torch.Size([2, 3])

====================

tensor(4.8990)

tensor(4.8990)