文章目录
栈
考纲内容
（一）栈和队列的基本概念
（二）栈和队列的顺序存储结构
（三）栈和队列的链式存储结构
（四）多维数组的存储（五）特殊矩阵的压缩存储
（六）栈、队列和数组的应用
复习提示
本章通常以选择题的形式考查，题目不算难，但命题的形式比较灵活，其中栈(出入栈的过程、出栈序列的合法性)和队列的操作及其特征是重点。因为它们均是线性表的应用和推广，所以也容易出现在算法设计题中。此外，栈和队列的顺序存储、链式存储及其特点、双端队列的特点、栈和队列的常见应用，以及数组和特殊矩阵的压缩存储都是必须掌握的内容。
1.栈的基本概念
1..1栈的定义
栈(Stack)是只允许在一端进行插入或删除操作的线性表。首先栈是一种线性表，但限定这种线性表只能在某一端进行插入和删除操作。
栈顶(Top)。线性表允许进行插入删除的那一端
栈底(Bottom)。固定的，不允许进行插入和删除的另一端。
空栈。不含任何元素的空表。
注意：
每接触一种新的数据结构，都应从其逻辑结构、存储结构和运算三个方面着手。
1.2栈的基本操作
各种辅导书中给出的基本操作的名称不尽相同，但所表达的意思大致是一样的。这里我们以严蔚敏编写的教材为准给出栈的基本操作，希望读者能熟记下面的基本操作。
- InitStack(&s)：初始化一个空栈S。
- StackEmpty(S)：判断一个栈是否为空，若栈S为空则返回 true，否则返回 false。
- Push(&S,x)：进栈，若栈s未满，则将x加入使之成为新栈顶。
- Pop(&S，&x)：出栈，若栈S非空，则弹出栈顶元素，并用x返回。
- GetTop(S,&x)：读栈顶元素，但不出栈，若栈S非空，则用x返回栈顶元素。
- DestroyStack(&S)：销毁栈，并释放栈S占用的存储空间(“&”表示引用调用)。
在解答算法题时，若题干未做出限制，则也可直接使用这些基本的操作函数。
栈的数学性质:当n个不同元素进栈时，出栈元素不同排列的个数为。这个公式称为卡特兰数(Catalan)公式，可采用数学归纳法证明，有兴趣的读者可以参考组合数学教材。
1.3总结
2.栈的顺序存储结构
栈是一种操作受限的线性表，类似于线性表，它也有对应的两种存储方式。
2.1顺序栈的实现
采用顺序存储的栈称为顺序栈，它利用一组地址连续的存储单元存放自栈底到栈顶的数据元素，同时附设一个指针(top)指示当前栈顶元素的位置。
栈的顺序存储类型可描述为：
#define MaxSize 50 //定义栈中元素的最大个数
typedef struct{
Elemtype data[MaxSize]; //存放栈中元素
int top; //栈顶指针
}Sqstack;
- 栈顶指针：S.top，初始时设置S.top=-1;
- 栈顶元素:S.data[s.top]。
- 进栈操作：栈不满时，栈顶指针先加1，再送值到栈顶。
- 出栈操作：栈非空时，先取栈顶元素，再将栈顶指针减1。
- 栈空条件：S.top==-1;
- 栈满条件：S.top==MaxSize-1;
- 栈长：S.top+1。
另一种常见的方式是：
- 初始设置栈顶指针S.top=0；
- 进栈时先将值送到栈顶，栈顶指针再加1；
- 出栈时，栈顶指针先减1，再取栈顶元素；
- 栈空条件是S.top==0；
- 栈满条件是S.top==MaxSize.
顺序栈的入栈操作受数组上界的约束，当对栈的最大使用空间估计不足时，有可能发生栈上溢，此时应及时向用户报告消息，以便及时处理，避免出错。
注意：
栈和队列的判空、判满条件，会因实际给的条件不同而变化，下面的代码实现是在栈顶指针初始化为-1的条件下的相应方法，而其他情况则需具体问题具体分析。
2.2顺序栈的基本操作
下面是顺序栈上常用的基本操作实现：
（1）初始化
void InitStack(SqStack &S){
S.top=-1; //初始化栈顶指针
}
（2）判栈空
bool StackEmpty(SqStack S){
if(S.top==-1) //栈空
return true;
else //不空
return false;
}
（3）进栈
bool Push(SqStack &S,ElemType x){
if(S.top==MaxSize-1) //栈满，报错
return false;
S.data[++S.top]=x; //指针先加1，再入栈
return true;
}
（4）出栈
bool Pop(SqStack &S,ElemType &x){
if(S.top==-1) //栈空，报错
return false;
x=S.data[S.top--]; //先出栈，指针再减1
return true;
}
（5）读取栈顶元素
bool GetTop(SqStack S,ElemType &x){
if(S.top==-1) //栈空，报错
return false;
x=S.data[S.top];//x记录栈顶元素
return true;
}
仅为读取栈顶元素，并没有出栈操作，因此原栈顶元素依然保留在栈中。
注意：
这里的 top 指的是栈顶元素。于是，进栈操作为 S.data[++S.top]=x，出栈操作为x=S.data[S.top--]。若栈顶指针初始化为S.top=0，即 top 指向栈顶元素的下一位置，则入栈操作变为S.data[S.top++]=x;出栈操作变为x=S.data[--S.top]。相应的栈空栈满条件也会发生变化。
2.3共享栈
利用栈底位置相对不变的特性，可让两个顺序栈共享一个一维数组空间，将两个栈的栈底分别设置在共享空间的两端，两个栈顶向共享空间的中间延伸。
两个栈的栈顶指针都指向栈顶元素，top0=-1时0号栈为空，top1=Maxsize时1号栈为空;仅当两个栈顶指针相邻(top1-top0=1)时，判断为栈满。当0号栈进栈时 top0 先加 1再赋值，1号栈进栈时 top1 先减1再赋值;出栈时则刚好相反。
共享栈是为了更有效地利用存储空间，两个栈的空间相互调节，只有在整个存储空间被占满时才发生上溢。其存取数据的时间复杂度均为0(1)，所以对存取效率没有什么影响。
2.4总结
3.栈的链式存储结构
采用链式存储的栈称为链栈，链栈的优点是便于多个栈共享存储空间和提高其效率，且不存在栈满上溢的情况。通常采用单链表实现，并规定所有操作都是在单链表的表头进行的。这里规定链栈没有头结点，Lhead指向栈顶元素。
栈的链式存储类型可描述为:
typedef struct linknode{
ElemType data; //数据域
struct linknode *next; //指针域
}Listack; //栈类型定义
采用链式存储，便于结点的插入与删除。链栈的操作与链表类似，入栈和出栈的操作都在链表的表头进行。需要注意的是，对于带头结点和不带头结点的链栈，具体的实现会有所不同。
3.1总结
