前言

在计算机科学的领域中，树与二叉树是极为重要且基础的结构。它们不仅具有理论上的深度与魅力，更在实际应用中发挥着关键作用。理解树与二叉树的概念、特性和操作方法，是掌握众多数据结构与算法的基石。

通过对树与二叉树的深入研究和总结，我们能够更好地洞察数据的组织与管理方式，为解决各种复杂问题提供有力的工具和思路。

树

树的定义

树是一种具有层次结构的数据结构，它由结点组成，有且仅有一个根结点，每个结点可以有零个或多个子结点，除根结点外，子结点与父结点通过边相连，树可以有多个分支，没有子结点的结点为叶子结点。树是n（n>0）个结点的有限集。当n=0时，称作空树。树的根结点没有前驱，除根结点外的所有结点有且仅有一个前驱，树所有的结点可以有零个或多个后继。

任意混淆的地方：

	特性	特性	特性
度为m的树	任意结点的度<=m	至少有一个结点的度=m	一定是非空树，至少有m+1个结点
m叉树	任意结点的度<=m	允许所有结点的度都<m	可以是空树

树的特性

1. 树中的结点数等于所有结点数的度数加1。

   解释：结点数 = 所有结点数的度数 + 1；你也可以这样认为：结点数=树的所有边数+1。

2. 度为m的树中第i层上至多有$m^{i-1}$ 个结点（i大于等于1）。

   解释：依次举例就可以看透规律。

3. 高度为h的m叉树至少有h个结点。

   解释：因为高度为h，每一层必须有一个结点。

4. 高度为h的m叉树至多有（$m^{k}$-1）/（m-1）个结点。

   解释：把每层个数相加，形成一个等比数列求和就可以得到这个式子。

5. 高度为h、度为m的树至少有（h+m-1）个结点。

   解释：高度为h：h层中每层都有一个结点；度为m：树中至少有一个结点的度为m；要求至少的结点，我们就可以去除其他结点只保留h个保持高度，在一层中最少要保持有m个结点，因为在有m个结点的那一层中有一个结点是用来保持高度为h的，这样就可以得到h+m-1的式子了。

6. 具有n个结点的m叉树的最小高度为$\lceil\log_m(n(m-1)+1)\rceil$。

   解释：（==前h-1层有（$m^{h-1}$-1）/（m-1）个结点 < n <= 前h层（$m^{h}$-1）/（m-1）)个结点==，我们对这个不等式进行操作，把h变量放在两边得：==h-1 < $\log_m(n(m-1)+1)$ <=h==，最终得出最小高度为$\lceil\log_m(n(m-1)+1)\rceil$。

二叉树

二叉树的定义

二叉树是一种重要的数据结构，它是由结点组成的树状结构。每个结点最多有两个子结点，即左子结点和右子结点。二叉树可以是空树，即没有任何结点；也可以由一个根结点以及它的左子树和右子树构成。二叉树的的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。

特殊的二叉树

1. 满二叉树：
   • 定义：一颗高度为h，且含有$2^{k}-1$个结点的二叉树称为满二叉树。
   • 特点：对于编号为i的结点
     • 双亲编号为$\lfloor\frac{i}{2}\rfloor$。
     • 若有左孩子，则左孩子编号为2*i。
     • 若有右孩子，则右孩子编号为2*i-1。
2. 完全二叉树：
   • 定义：高度为h、有n个结点的二叉树，当且仅当其每个结点都与高度为h的满二叉树中编号为1~n的结点一一对应时称为完全二叉树。
   • 特点：
     • 叶子结点只可能在层次最大的两层上出现。对于最大层次中的叶子结点，都依次排列在该层最左边的位置上。
     • 若有度为1的结点，则只可能有一个，且该结点只有左结点没有右结点。
     • 按层次编号后，一旦出现某编号为i的结点为叶子节点或只有左孩子，则编号大于i的结点都是叶子结点。
     • 若n（结点数）为奇数，则每个分支结点都有左孩子和右孩子。
     • 若n（结点数）为偶数，则编号最大的分支结点只有左孩子，没有右孩子，其他分支结点左右孩子都有。
3. 二叉排序树：
   • 定义：左子树上所有的关键字均小于根结点的关键字；右子树上的所有结点的关键字均大于根结点的关键字；左子树和右子树又各是一颗二叉排序树。
4. 平衡二叉树：
   • 定义：树上任一结点的左子树和右子树的深度之差不超过1。

二叉树的性质

1. 非空二叉树上的叶子结点数等于度为2的结点数加1。

   过程：n0为度为0的结点数、n1为度为1的结点数、n2为度为2的结点数、n为总结点数

   • n0+n1+n2=n
   • n1+2*n2+1=n (树的特性：结点数 = 所有结点数的度数 + 1)

   ​ 结合2个等式可得：n2+1=n0

2. 非空二叉树上第k层上至多有$2^{k-1}$个结点。

3. 高度为h的二叉树至多有$2^{k}-1$个结点。

4. 对完全二叉树按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，……，n，则有一下关系：

   • 当i>1时，结点i的双亲的编号为$\lfloor\frac{i}{2}\rfloor$，即当i为偶数时，其双亲的编号为i/2，它是双亲的左孩子；当i为奇数时，其双亲的编号为（i-1）/2，它是双亲的右孩子。
   • 当2i<=n时，结点i的左孩子编号为2i，否则无左孩子。
   • 当2i+1<=n时，结点i的右孩子编号为2i+1，否则无右孩子。
   • 结点i所在层次为$\lfloor\log_2 i\rfloor+1$。

5. 具有n个（n>0）结点的完全二叉树的高度为$\lceil\log_2(n+1)\rceil$或$\lfloor\log_2 i\rfloor+1$。

   过程：h为所在高度

   • 通过（前h-1层结点数）$2^{h-1}-1$<n<=$2^{h}-1$（前h层结点数），化简可得h-1<$\log_2(n+1)\\$<=h，因为h为正数可得h=$\lceil\log_2(n+1)\rceil$。
   • 上式（前h-1层结点数+1）$2^{h-1}$<=n<$2^{h}$（前h层结点数-1），化简可得h-1<=$\log_2n\\$<h，因为h为正数可得h=$\lfloor\log_2 i\rfloor+1$。

6. 对于完全二叉树，可以由结点数n推出度为0，1和2的结点个数为n0、n1和n2。

   • 完全二叉树最多只有一个度为1的结点，即n1为0或1。
   • 因为n2+1=n0，所以n2+n0 = 2*n2 +1为奇数。
   • 由上面两点可得：当完全二叉树有2k（偶数）个结点，则n1=1 ,n0=k，n2=k-1；当完全二叉树有2k-1（奇数）个结点，则n1=0，n0=k，n2=k-1。

小结

了解了树与二叉树的概念与特性，我们就可以深入了解树的遍历和树的应用等。